ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ が、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ の線形結合で表せない理由を説明します。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ が、ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ の線形結合で表せない理由を説明します。

2. 解き方の手順

ベクトル $\mathbf{x}$ が $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表せると仮定します。

つまり、あるスカラー $c_1$ と $c_2$ が存在して、

$$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2$$

が成り立つとします。

この式を成分ごとに書くと、次のようになります。

$$\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c_1 - 4c_2 \\ c_1 - 2c_2 \end{pmatrix}$$

これは次の連立一次方程式と同値です。

\begin{align*}

2c_1 - 4c_2 &= 4 \\

c_1 - 2c_2 &= 4

\end{align*}

1番目の式を2で割ると、次のようになります。

\begin{align*}

c_1 - 2c_2 &= 2 \\

c_1 - 2c_2 &= 4

\end{align*}

この連立方程式は明らかに矛盾しています。なぜなら、$c_1 - 2c_2$ は同時に2と4に等しいことはありえないからです。

したがって、$\mathbf{x}$ を $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表すことはできません。

3. 最終的な答え

ベクトル $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ は線形従属であり、$\mathbf{a}_2 = -2\mathbf{a}_1$ が成り立ちます。つまり、$\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ は同じ方向を向いています。

ベクトル $\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$ と同じ方向を向いていないため、$\mathbf{x}$ は $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の線形結合で表すことができません。連立方程式が矛盾するため、表すことはできません。