問6と問7に関する問題です。 問6(1)は、$x(x-2)(x-1)(x+1)$を展開したときの$x$の係数を求める問題です。 問6(2)は、$x$の2次方程式$x^2 - ax + a = 1$が重解を持つときの$a$の値を求める問題です。 問7(1)は、三角形ABCにおいて、$AB=5, CA=3, \cos A = \frac{2}{3}$のとき、三角形ABCの面積を求める問題です。 問7(2)は、同じ三角形ABCにおいて、辺BCの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

問6と問7に関する問題です。

問6(1)は、$x(x-2)(x-1)(x+1)$を展開したときの$x$の係数を求める問題です。

問6(2)は、$x$の2次方程式$x^2 - ax + a = 1$が重解を持つときの$a$の値を求める問題です。

問7(1)は、三角形ABCにおいて、$AB=5, CA=3, \cos A = \frac{2}{3}$のとき、三角形ABCの面積を求める問題です。

問7(2)は、同じ三角形ABCにおいて、辺BCの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

問6(1)：

$x(x-2)(x-1)(x+1) = x(x-2)(x^2-1) = x(x^3 - 2x^2 - x + 2) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x$

$x$の係数は2なので、答えは5です。

問6(2)：

$x^2 - ax + a = 1$を$x^2 - ax + a - 1 = 0$と変形します。

この2次方程式が重解を持つための条件は、判別式$D = 0$であることです。

$D = (-a)^2 - 4(1)(a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

$(a-2)^2 = 0$より、$a = 2$。

したがって、答えは2です。

問7(1)：

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2}AB \cdot CA \cdot \sin A$で求めることができます。

$\cos A = \frac{2}{3}$なので、$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

したがって、三角形ABCの面積は$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$。

答えは5です。

問7(2)：

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{2}{3} = 25 + 9 - 20 = 14$

$BC = \sqrt{14}$

したがって、答えは3です。

3. 最終的な答え

問6(1)：5

問6(2)：2

問7(1)：5

問7(2)：3