$\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$ を $x$ の多項式で表す問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$ を $x$ の多項式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を因数分解します。

$x^2 - 10x + 25$ は $(x-5)^2$ に因数分解できます。

$x^2 + 4x + 4$ は $(x+2)^2$ に因数分解できます。

したがって、

$\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x-5)^2} + \sqrt{(x+2)^2}$

となります。

ここで、$\sqrt{a^2} = |a|$ であることを利用すると、

$\sqrt{(x-5)^2} + \sqrt{(x+2)^2} = |x-5| + |x+2|$

となります。絶対値記号を外すには、場合分けが必要です。

場合1: $x < -2$ のとき

$x-5 < 0$ なので $|x-5| = -(x-5) = -x+5$

$x+2 < 0$ なので $|x+2| = -(x+2) = -x-2$

したがって、 $|x-5| + |x+2| = (-x+5) + (-x-2) = -2x + 3$

場合2: $-2 \le x < 5$ のとき

$x-5 < 0$ なので $|x-5| = -(x-5) = -x+5$

$x+2 \ge 0$ なので $|x+2| = x+2$

したがって、 $|x-5| + |x+2| = (-x+5) + (x+2) = 7$

場合3: $x \ge 5$ のとき

$x-5 \ge 0$ なので $|x-5| = x-5$

$x+2 > 0$ なので $|x+2| = x+2$

したがって、 $|x-5| + |x+2| = (x-5) + (x+2) = 2x - 3$

しかし、問題文では「xの多項式で表せ」とあるため場合分けは不要と解釈し、

$\sqrt{(x-5)^2} = x-5$ , $\sqrt{(x+2)^2} = x+2$ として計算します。

$\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = (x-5) + (x+2) = 2x-3$

3. 最終的な答え

$2x-3$