(1) $\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ を証明せよ。 (2) 次の和 $S$ を求めよ。 $S = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ を証明せよ。

(2) 次の和 $S$ を求めよ。

$S = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$

2. 解き方の手順

(1) の証明：

左辺を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \cdot \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{1} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

よって、$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ が成り立つ。

(2) の計算：

(1)の結果を利用して各項を計算する。

$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{1}$

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$

$\vdots$

$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

これらの和を計算すると、

$S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

これは Telescoping sum (望遠鏡和) なので、

$S = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

(2) $S = \sqrt{n+1} - 1$