以下の行列計算を行う。 (1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ (3) $2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (4) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

## 問題の回答

以下に、画像に示された数学の問題のうち、問題4-1から問題4-3までを解きます。

### 問題4-1

1. 問題の内容

以下の行列計算を行う。

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2*(-1) + 1*3 \\ -2*(-1) + 3*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 11 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2*(-1) + 1*(-2) & 2*2 + 1*3 \\ 3*(-1) + (-1)*(-2) & 3*2 + (-1)*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(3)

$2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-8 & 4-(-4) \\ -2-8 & 6-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -10 & 2 \end{pmatrix}$

(4)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 \\ 11 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} -6 & 8 \\ -10 & 2 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

### 問題4-2

1. 問題の内容

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ のとき、以下を計算する。

(1) $AB$

(2) $B^2$

(3) $(AB)^2$

(4) $A^2 - B^2$

(5) $(A-B)(A+B)$

2. 解き方の手順

(1) $AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$

(2) $B^2 = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $(AB)^2 = (AB)(AB) = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 & -3 \\ -6 & 34 \end{pmatrix}$

(4) $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

$A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(5) $A-B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

$A+B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$(A-B)(A+B) = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 9 & -5 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 27 & -3 \\ -6 & 34 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

### 問題4-3

1. 問題の内容

$X + 2Y = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$, $3X - Y = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ を満たす 2x2 行列 $X, Y$ を求める。

2. 解き方の手順

$X + 2Y = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$ (1)

$3X - Y = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ (2)

(2) x 2 より $6X - 2Y = \begin{pmatrix} 2 & 14 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$ (3)

(1) + (3) より $7X = \begin{pmatrix} 7 & 14 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$, よって $X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

(1) より $2Y = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} - X = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, よって $Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$