$\sum_{k=1}^{n} k = 2016$ を満たす正の整数 $n$ の値を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} k$ を $n$ の式で表し、それを用いて $n$ に関する2次方程式を作ります。 ただし、$n^2$ の係数は 1 とします。 (2) (1) で作った2次方程式を解き、$n$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} k = 2016$ を満たす正の整数 $n$ の値を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} k$ を $n$ の式で表し、それを用いて $n$ に関する2次方程式を作ります。 ただし、$n^2$ の係数は 1 とします。

(2) (1) で作った2次方程式を解き、$n$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ であることを利用します。

与えられた等式 $\sum_{k=1}^{n} k = 2016$ に代入すると、

$\frac{n(n+1)}{2} = 2016$

$n(n+1) = 4032$

$n^2 + n = 4032$

$n^2 + n - 4032 = 0$

これが求める2次方程式です。

(2) (1) で求めた2次方程式 $n^2 + n - 4032 = 0$ を解きます。

解の公式を用いると、

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-4032)}}{2(1)}$

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16128}}{2}$

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{16129}}{2}$

$n = \frac{-1 \pm 127}{2}$

$n$ は正の整数であるため、$n = \frac{-1 + 127}{2} = \frac{126}{2} = 63$

3. 最終的な答え

$n=63$