放物線 $C: y = 3x^2 + 6x$ を原点に関して対称移動し、得られた放物線を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ 平行移動したところ、$y = -3x^2 - 18x$ となった。$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = 3x^2 + 6x$ を原点に関して対称移動し、得られた放物線を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ 平行移動したところ、$y = -3x^2 - 18x$ となった。$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1：放物線 $C$ を原点に関して対称移動する。

原点対称移動は、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えることで得られる。

よって、$-y = 3(-x)^2 + 6(-x)$ となる。

これを整理すると、$y = -3x^2 + 6x$ となる。

ステップ2：得られた放物線を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ 平行移動する。

$x$ 軸方向に $a$ 平行移動するには、$x$ を $x - a$ に置き換える。

$y$ 軸方向に $b$ 平行移動するには、$y$ を $y - b$ に置き換える。

よって、$y - b = -3(x - a)^2 + 6(x - a)$ となる。

これを整理すると、$y = -3(x^2 - 2ax + a^2) + 6x - 6a + b$

$y = -3x^2 + 6ax - 3a^2 + 6x - 6a + b$

$y = -3x^2 + (6a + 6)x - 3a^2 - 6a + b$

ステップ3：得られた放物線の式を $y = -3x^2 - 18x$ と比較する。

$y = -3x^2 + (6a + 6)x - 3a^2 - 6a + b$ と $y = -3x^2 - 18x$ を比較すると、

$x$ の係数について、$6a + 6 = -18$ が成り立つ。

定数項について、$-3a^2 - 6a + b = 0$ が成り立つ。

ステップ4：$a$ の値を求める。

$6a + 6 = -18$ を解くと、

$6a = -24$

$a = -4$

ステップ5：$b$ の値を求める。

$-3a^2 - 6a + b = 0$ に $a = -4$ を代入すると、

$-3(-4)^2 - 6(-4) + b = 0$

$-3(16) + 24 + b = 0$

$-48 + 24 + b = 0$

$-24 + b = 0$

$b = 24$

3. 最終的な答え

$a = -4$, $b = 24$