複素数 $z = 2 + i$ が与えられている。複素数平面上の3点 O(0), A(z), B($z^{-1}$) を頂点とする三角形OABの面積を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z = 2 + i$ が与えられている。複素数平面上の3点 O(0), A(z), B($z^{-1}$) を頂点とする三角形OABの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$z^{-1}$ を計算する。

$z = 2 + i$ なので、

$z^{-1} = \frac{1}{2+i} = \frac{2-i}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i}{4 - (-1)} = \frac{2-i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$

次に、三角形 OAB の面積を求める。

ベクトル OA は $z = 2 + i$ に対応し、ベクトル OB は $z^{-1} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$ に対応する。

三角形OABの面積は、ベクトルOAとベクトルOBで作られる平行四辺形の面積の半分である。

平行四辺形の面積は、ベクトルOAとベクトルOBの外積の絶対値で与えられる。複素数平面上では、OAとOBの成分を使って、次のように計算できる。

三角形OABの面積 S は、

$S = \frac{1}{2} |Re(z)Im(z^{-1}) - Im(z)Re(z^{-1})|$

ここで、$z = 2 + i$ なので、$Re(z) = 2$、$Im(z) = 1$

また、$z^{-1} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$ なので、$Re(z^{-1}) = \frac{2}{5}$、$Im(z^{-1}) = -\frac{1}{5}$

したがって、

$S = \frac{1}{2} |2 \cdot (-\frac{1}{5}) - 1 \cdot \frac{2}{5}| = \frac{1}{2} |-\frac{2}{5} - \frac{2}{5}| = \frac{1}{2} |-\frac{4}{5}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

三角形OABの面積は $\frac{2}{5}$