問題は以下の2つです。 (1) $log_{10}2 = 0.3010$ を用いて、$2^{345}$ は何桁の整数かを求めます。 (2) $log_{10}2 = 0.3010$ を用いて、$(0.2)^{345}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めます。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $log_{10}2 = 0.3010$ を用いて、$2^{345}$ は何桁の整数かを求めます。

(2) $log_{10}2 = 0.3010$ を用いて、$(0.2)^{345}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $2^{345}$ の桁数を求めるには、常用対数をとります。

$log_{10}2^{345} = 345 \times log_{10}2 = 345 \times 0.3010 = 103.845$

$2^{345}$ の桁数は $log_{10}2^{345}$ の整数部分に1を足したものです。

整数部分は103なので、桁数は104桁です。

(2) $(0.2)^{345}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めるには、常用対数をとります。

$log_{10}(0.2)^{345} = 345 \times log_{10}(0.2)$

$log_{10}(0.2) = log_{10}(\frac{2}{10}) = log_{10}2 - log_{10}10 = 0.3010 - 1 = -0.6990$

$log_{10}(0.2)^{345} = 345 \times (-0.6990) = -241.155$

$(0.2)^{345}$ を小数で表したとき、小数第n位に初めて0でない数字が現れるとき、$log_{10}(0.2)^{345}$ は $-n$ と $-n+1$ の間の値になります。つまり、

$-n \le log_{10}(0.2)^{345} < -n+1$

$log_{10}(0.2)^{345} = -241.155$ なので、

$-242 < -241.155 < -241$

したがって、小数第242位に初めて0でない数字が現れます。

別解としては、$log_{10}(0.2)^{345} = -241.155 = -242 + 0.845$ となるので、初めて0でない数字が現れるのは小数第242位です。

3. 最終的な答え

(1) 104桁

(2) 小数第242位