問題は、2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3 = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) を持つとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $m$ の取り得る値の範囲を求める。 (2) $\alpha < 0$ かつ $1 < \beta$ が成り立つとき、$m$ の取り得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題は、2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3 = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) を持つとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $m$ の取り得る値の範囲を求める。

(2) $\alpha < 0$ かつ $1 < \beta$ が成り立つとき、$m$ の取り得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $m$ の取り得る値の範囲を求める。

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

判別式 $D = (-m)^2 - 4(1)(m^2 - 3) = m^2 - 4m^2 + 12 = -3m^2 + 12$

したがって、$D > 0$ より、 $-3m^2 + 12 > 0$

$3m^2 < 12$

$m^2 < 4$

$-2 < m < 2$

(2) $\alpha < 0$ かつ $1 < \beta$ が成り立つとき、$m$ の取り得る値の範囲を求める。

$f(x) = x^2 - mx + m^2 - 3$ とおくと、$f(0) < 0$ かつ $f(1) < 0$ が成り立つ必要があります。

$f(0) = 0^2 - m(0) + m^2 - 3 = m^2 - 3 < 0$

$m^2 < 3$

$-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$

$f(1) = 1^2 - m(1) + m^2 - 3 = m^2 - m - 2 < 0$

$(m - 2)(m + 1) < 0$

$-1 < m < 2$

$-2 < m < 2$, $-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$, $-1 < m < 2$ の共通範囲を求めます。

$-\sqrt{3} \approx -1.732$

$\sqrt{3} \approx 1.732$

よって、$-1 < m < \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-2 < m < 2$

(2) $-1 < m < \sqrt{3}$