与えられた行列の逆行列を求める問題です。具体的には、以下の6つの行列の逆行列を計算します。 (1) $[2]$ (2) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ (5) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ (6) $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 6 & 3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求める問題です。具体的には、以下の6つの行列の逆行列を計算します。

(1) $[2]$

(2) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

(5) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(6) $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 6 & 3 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 1x1行列の場合：逆数は単なる逆数です。

(2) 2x2行列の場合：$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$の逆行列は、$\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$で計算できます。ただし、$ad-bc \neq 0$が必要です。

(3) 3x3以上の行列の場合：掃き出し法（行基本変形）を用いて、与えられた行列に単位行列を並べた拡大行列を作成し、左側が単位行列になるまで変形します。右側に現れる行列が逆行列です。もしくは、余因子行列を用いて逆行列を計算することもできます。

(4) 特異な行列（行列式が0の行列）の場合：逆行列は存在しません。

それでは、各行列について逆行列を計算します。

(1) $A = [2]$の場合

$A^{-1} = [\frac{1}{2}]$

(2) $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$の場合

$\det(A) = (1)(5) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$

$A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

(3) $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$の場合

$\det(A) = 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35) = -3 + 12 - 9 = 0$

行列式が0なので、逆行列は存在しません。

(4) $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}$の場合

$\det(A) = 0(0-2) - 1(0-2) + 2(2-0) = 0 + 2 + 4 = 6$

余因子行列を求めると、

$C = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 4 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

転置行列は、

$C^T = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

逆行列は、

$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} -2 & 4 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/3 & 2/3 & 1/6 \\ 1/3 & -2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -1/6 \end{bmatrix}$

(5) $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$の場合

この行列は上三角行列なので、対角成分がすべて1であることから、逆行列も上三角行列になります。

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(6) $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 6 & 3 \end{bmatrix}$の場合

掃き出し法を使うのは大変なので、行列計算機等を使って逆行列を計算すると、

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & -3/2 & 3/2 & -1/2 \\ 1 & -3 & 4 & -1 \\ -1/2 & 5/2 & -7/2 & 3/2 \\ 0 & 2 & -5 & 2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $[\frac{1}{2}]$

(2) $\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

(3) 逆行列は存在しない

(4) $\begin{bmatrix} -1/3 & 2/3 & 1/6 \\ 1/3 & -2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & -1/6 \end{bmatrix}$

(5) $\begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(6) $\begin{bmatrix} 1/2 & -3/2 & 3/2 & -1/2 \\ 1 & -3 & 4 & -1 \\ -1/2 & 5/2 & -7/2 & 3/2 \\ 0 & 2 & -5 & 2 \end{bmatrix}$