## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. $\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$ を $x$ の多項式で表す。

2. 連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \geq 3 \end{cases}$ を解く。

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2. 解き方の手順

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1. $\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$ の多項式での表現**

まず、根号の中身を因数分解します。

$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

したがって、

$\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \sqrt{(x-5)^2} + \sqrt{(x+2)^2} = |x-5| + |x+2|$

絶対値を外すために場合分けをします。

* $x < -2$ のとき: $|x-5| = -(x-5)$ かつ $|x+2| = -(x+2)$ なので、 $|x-5| + |x+2| = -(x-5) - (x+2) = -2x + 3$

* $-2 \leq x < 5$ のとき: $|x-5| = -(x-5)$ かつ $|x+2| = x+2$ なので、 $|x-5| + |x+2| = -(x-5) + (x+2) = 7$

* $x \geq 5$ のとき: $|x-5| = x-5$ かつ $|x+2| = x+2$ なので、 $|x-5| + |x+2| = (x-5) + (x+2) = 2x - 3$

したがって、

$|x-5| + |x+2| = \begin{cases} -2x + 3 & (x < -2) \\ 7 & (-2 \leq x < 5) \\ 2x - 3 & (x \geq 5) \end{cases}$

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2. 連立不等式の解法**

まず、 $(\sqrt{3}-2)x < -1$ を解きます。 $\sqrt{3} - 2 < 0$ なので、両辺を $(\sqrt{3}-2)$ で割ると不等号の向きが変わります。

$x > \frac{-1}{\sqrt{3}-2} = \frac{-1(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{-(\sqrt{3}+2)}{3-4} = \sqrt{3}+2$

次に、 $|1-x| \geq 3$ を解きます。

* $1-x \geq 3$ のとき: $-x \geq 2$ より $x \leq -2$

* $1-x \leq -3$ のとき: $-x \leq -4$ より $x \geq 4$

したがって、$|1-x| \geq 3$ の解は $x \leq -2$ または $x \geq 4$ です。

連立不等式を満たす $x$ の範囲は、$x > \sqrt{3}+2$ かつ ($x \leq -2$ または $x \geq 4$) です。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、$\sqrt{3}+2 \approx 3.732$ です。したがって、$x > \sqrt{3}+2$ は $x > 3.732$ を意味します。

したがって、連立不等式の解は $x \geq 4$ です。

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3. 最終的な答え

1. $\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = \begin{cases} -2x + 3 & (x < -2) \\ 7 & (-2 \leq x < 5) \\ 2x - 3 & (x \geq 5) \end{cases}$

2. $x \geq 4$