(1) 正則な正方行列 $A, B$ について、$C = (AB)^{-1}$ とする。このとき、$A^{-1}$ と $B^{-1}$ を $A, B$ および $C$ を用いて表せ。 (2) 正方行列 $A$ が正則であれば、${}^t A$ も正則であり、その逆行列 $({}^t A)^{-1}$ は ${}^t (A^{-1})$ と一致することを証明せよ。

1. 問題の内容

(1) 正則な正方行列 $A, B$ について、$C = (AB)^{-1}$ とする。このとき、$A^{-1}$ と $B^{-1}$ を $A, B$ および $C$ を用いて表せ。

(2) 正方行列 $A$ が正則であれば、${}^t A$ も正則であり、その逆行列 $({}^t A)^{-1}$ は ${}^t (A^{-1})$ と一致することを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$C = (AB)^{-1}$ の両辺の逆行列をとると、

$C^{-1} = ((AB)^{-1})^{-1} = AB$

となる。

次に、$C^{-1} = AB$ の両辺に、左から $A^{-1}$ をかけると、

$A^{-1}C^{-1} = A^{-1}AB = IB = B$

となる。ここで、$I$ は単位行列である。

したがって、$B = A^{-1}C^{-1}$ より、$B^{-1} = (A^{-1}C^{-1})^{-1}$ となる。

$(A^{-1}C^{-1})^{-1} = (C^{-1})^{-1}(A^{-1})^{-1} = CA$

であるから、$B^{-1} = CA$ となる。

(2)

$A$ が正則であるとき、$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ が成り立つ。

両辺を転置すると、

${}^t (AA^{-1}) = {}^t I$

${}^t (A^{-1}) {}^t A = I$

${}^t (A^{-1}A) = {}^t I$

${}^t A {}^t (A^{-1}) = I$

が成り立つ。ここで、${}^t I = I$ である。

よって、${}^t A$ は正則であり、その逆行列は ${}^t (A^{-1})$ である。

つまり、$({}^t A)^{-1} = {}^t (A^{-1})$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $B^{-1} = CA$

(2) $({}^t A)^{-1} = {}^t (A^{-1})$