実数 $x$ に関する二つの条件 $p: -1 \le x \le 3$ と $q: |x-a| > 3$ が与えられています。 (I) 条件 $p$ と $q$ の否定 $\overline{p}$ と $\overline{q}$ をそれぞれ求めます。 (II) 命題 $p \implies q$ が真であるような $a$ の値の範囲、命題 $p \implies \overline{q}$ が真であるような $a$ の値の範囲を求めます。$a = ウ$ のとき、$x = カ$ が命題 $p \implies q$ の反例となるような $x$ の値を求めます。最後に、条件 $r: 3 < x \le 4$ が与えられたとき、$a=1$ のときの条件 $\overline{p} \land \overline{q}$ が条件 $r$ であるための必要条件、十分条件を判定します。

1. 問題の内容

実数 $x$ に関する二つの条件 $p: -1 \le x \le 3$ と $q: |x-a| > 3$ が与えられています。

(I) 条件 $p$ と $q$ の否定 $\overline{p}$ と $\overline{q}$ をそれぞれ求めます。

(II) 命題 $p \implies q$ が真であるような $a$ の値の範囲、命題 $p \implies \overline{q}$ が真であるような $a$ の値の範囲を求めます。$a = ウ$ のとき、$x = カ$ が命題 $p \implies q$ の反例となるような $x$ の値を求めます。最後に、条件 $r: 3 < x \le 4$ が与えられたとき、$a=1$ のときの条件 $\overline{p} \land \overline{q}$ が条件 $r$ であるための必要条件、十分条件を判定します。

2. 解き方の手順

(I)

$\overline{p}$ は $p$ の否定なので、$x < -1$ または $3 < x$ です。

$\overline{q}$ は $q$ の否定なので、$|x-a| \le 3$ です。

(II)

(1) 命題 $p \implies q$ が真であるとは、$p$ を満たす $x$ は必ず $q$ を満たすということです。

つまり、$-1 \le x \le 3$ ならば $|x-a| > 3$ が成り立つ必要があります。

$|x-a| > 3$ より、$x-a > 3$ または $x-a < -3$、つまり $x > a+3$ または $x < a-3$ となります。

$-1 \le x \le 3$ の範囲の全ての $x$ が $x > a+3$ または $x < a-3$ を満たすには、$3 < a-3$ または $-1 > a+3$ が必要です。

$3 < a-3$ より $a > 6$

$-1 > a+3$ より $a < -4$

したがって、$a < -4$ または $6 < a$ が答えになります。アイ = -4、ウ = 6

命題 $p \implies \overline{q}$ が真であるとは、$p$ を満たす $x$ は必ず $\overline{q}$ を満たすということです。

つまり、$-1 \le x \le 3$ ならば $|x-a| \le 3$ が成り立つ必要があります。

$|x-a| \le 3$ より $-3 \le x-a \le 3$、つまり $a-3 \le x \le a+3$ となります。

$-1 \le x \le 3$ の範囲が $a-3 \le x \le a+3$ に含まれるには、$a-3 \le -1$ かつ $a+3 \ge 3$ が必要です。

$a-3 \le -1$ より $a \le 2$

$a+3 \ge 3$ より $a \ge 0$

したがって、$0 \le a \le 2$ が答えになります。エ = 0、オ = 2

(2) $a=6$ のとき、$q$ は $|x-6| > 3$ となり、$x > 9$ または $x < 3$ となります。

$p \implies q$ の反例は、$p$ が真で $q$ が偽となる $x$ です。

$p$ は $-1 \le x \le 3$ で、$q$ が偽は $|x-6| \le 3$ より $3 \le x \le 9$ です。

$(-1 \le x \le 3) \land (3 \le x \le 9)$ を満たすのは $x = 3$ です。

したがって、$x = 3$ が答えになります。カ = 3

(3) $a=1$ のとき、$q$ は $|x-1| > 3$ となり、$x > 4$ または $x < -2$ となります。

$\overline{p}$ は $x < -1$ または $3 < x$ です。

$\overline{q}$ は $|x-1| \le 3$ より $-2 \le x \le 4$ です。

$\overline{p} \land \overline{q}$ は $(-2 \le x < -1)$ または $(3 < x \le 4)$ となります。

$r$ は $3 < x \le 4$ です。

$\overline{p} \land \overline{q}$ は $r$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

なぜなら、$3 < x \le 4$ ならば $(-2 \le x < -1)$ または $(3 < x \le 4)$ は必ず成り立ちますが、$(-2 \le x < -1)$ ならば $3 < x \le 4$ は成り立たないからです。

したがって、答えは 1 です。キ = 0 (選択肢の 0 を選びます)

3. 最終的な答え

(I)

$\overline{p}$: $x < -1$ または $3 < x$

$\overline{q}$: $|x-a| \le 3$

(II)

(1) $a < -4$ 、$6 < a$

$0 \le a \le 2$

(2) $x = 3$

(3) 1 (十分条件であるが、必要条件ではない)