与えられた2つの行列が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。ただし、$a \neq b$ かつ $c \neq 0$ とする。 (1) $ \begin{pmatrix} a & c & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの行列が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。ただし、$a \neq b$ かつ $c \neq 0$ とする。

(1) $\begin{pmatrix} a & c & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} a & c & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$ について:

まず、固有値を求めます。

$A$ の固有多項式は

$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} a - \lambda & c & 0 \\ 0 & a - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & b - \lambda \end{pmatrix} = (a - \lambda)^2 (b - \lambda)$

したがって、固有値は $\lambda = a, a, b$ です。

次に、固有空間を求めます。

- $\lambda = a$ のとき：

$A - aI = \begin{pmatrix} 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b - a \end{pmatrix}$

$(A - aI) \mathbf{x} = \mathbf{0}$ を解くと、$\begin{pmatrix} 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b - a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$cy = 0$ かつ $(b-a)z = 0$ より、$y = 0$ かつ $z = 0$ となります ($a \neq b$ より $b - a \neq 0$)。

したがって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、固有空間の次元は 1 です。

固有値 $a$ の重複度は 2 なので、対角化可能ではありません。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & c \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$ について:

まず、固有値を求めます。

$A$ の固有多項式は

$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} a - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & a - \lambda & c \\ 0 & 0 & b - \lambda \end{pmatrix} = (a - \lambda)^2 (b - \lambda)$

したがって、固有値は $\lambda = a, a, b$ です。

次に、固有空間を求めます。

- $\lambda = a$ のとき：

$A - aI = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & b - a \end{pmatrix}$

$(A - aI) \mathbf{x} = \mathbf{0}$ を解くと、$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & b - a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$cz = 0$ かつ $(b-a)z = 0$ より、$z = 0$ となります ($c \neq 0$ かつ $a \neq b$ より)。

したがって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、固有空間の次元は 2 です。

- $\lambda = b$ のとき：

$A - bI = \begin{pmatrix} a - b & 0 & 0 \\ 0 & a - b & c \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$(A - bI) \mathbf{x} = \mathbf{0}$ を解くと、$\begin{pmatrix} a - b & 0 & 0 \\ 0 & a - b & c \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$(a - b)x = 0$ かつ $(a - b)y + cz = 0$ より、$x = 0$ かつ $(a-b)y + cz = 0$ となります ($a \neq b$ より $a - b \neq 0$)。

$y = -\frac{c}{a-b} z$

したがって、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{c}{a-b} z \\ z \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{c}{a-b} \\ 1 \end{pmatrix}$

よって、固有空間の次元は 1 です。

固有値 $a$ の重複度が 2 で、対応する固有空間の次元が 2 であるため、行列 $A$ は対角化可能です。

対角化行列は $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{c}{a-b} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$とすれば、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$となります。

3. 最終的な答え

(1) 対角化不可能

(2) 対角化可能

対角化された行列は $\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$