与えられた2つの行列について、対角化可能かどうかを判定し、対角化可能な場合は対角化を行う。 (1) $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ (2) $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた2つの行列について、対角化可能かどうかを判定し、対角化可能な場合は対角化を行う。

(1) $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の場合：

- 固有方程式を計算する： $|A - \lambda I| = 0$ を解き、固有値を求める。

- 各固有値に対応する固有空間を求める。

- 各固有空間の次元（固有値の幾何学的重複度）と、固有値の代数的重複度を比較する。もし全ての固有値に対して、幾何学的重複度＝代数的重複度であれば、行列$A$は対角化可能である。

- 対角化可能な場合、固有ベクトルを並べて行列$P$を作成し、$P^{-1}AP$が対角行列となるようにする。

(2) 行列 $B$ の場合：

- 固有方程式を計算する： $|B - \lambda I| = 0$ を解き、固有値を求める。

- 各固有値に対応する固有空間を求める。

- 各固有空間の次元（固有値の幾何学的重複度）と、固有値の代数的重複度を比較する。もし全ての固有値に対して、幾何学的重複度＝代数的重複度であれば、行列$B$は対角化可能である。

- 対角化可能な場合、固有ベクトルを並べて行列$P$を作成し、$P^{-1}BP$が対角行列となるようにする。

(1)行列 $A$ の固有方程式を計算する：

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} = \lambda^4 - 2\lambda^2 + 1 = (\lambda^2 - 1)^2 = (\lambda - 1)^2 (\lambda + 1)^2 = 0$

固有値は $\lambda = 1, -1$ (それぞれ重複度 2)。

- $\lambda = 1$ の固有空間を求める：

$(A - I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + w = 0$

$-y + z = 0$

$x = w$

$y = z$

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 。

固有空間の次元（幾何学的重複度）は 2。

- $\lambda = -1$ の固有空間を求める：

$(A + I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + w = 0$

$y + z = 0$

$x = -w$

$y = -z$

固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 。

固有空間の次元（幾何学的重複度）は 2。

各固有値において、幾何学的重複度と代数的重複度が等しいので、行列 $A$ は対角化可能。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}AP = D$

(2) 行列 $B$ の固有方程式を計算する：

$|B - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 2 & 2 \\ 0 & 3-\lambda & 1 \\ -1 & 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)((3-\lambda)^2 - 2) - 2(0 + 1) + 2(0 + (3-\lambda)) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 7) - 2 + 6 - 2\lambda = -\lambda^3 + 8\lambda^2 - 21\lambda + 18 = -(\lambda - 2)(\lambda - 3)^2 = 0$

固有値は $\lambda = 2, 3$。$\lambda = 2$の重複度は1、$\lambda = 3$の重複度は2。

- $\lambda = 2$ の固有空間を求める：

$(B - 2I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2y + 2z = 0$

$y + z = 0$

$-x + 2y + z = 0$

$y = -z$

$-x - 2z + z = 0$

$x = -z$

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 。

固有空間の次元（幾何学的重複度）は 1。

- $\lambda = 3$ の固有空間を求める：

$(B - 3I)v = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y + 2z = 0$

$z = 0$

$-x + 2y = 0$

$x = 2y$

固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 。

固有空間の次元（幾何学的重複度）は 1。

$\lambda = 3$ の固有値の代数的重複度は 2 だが、幾何学的重複度は 1 であるため、行列 $B$ は対角化不可能である。

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A$ は対角化可能。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}AP = D$

(2) 行列 $B$ は対角化不可能。