問題166から問題171までの数学の問題を解く。

1. 問題の内容

問題166から問題171までの数学の問題を解く。

2. 解き方の手順

**問題166**

(1) 放物線 $y = a(x-2)^2 + 4$ が点 $(1, 2)$ を通るので、$x = 1, y = 2$ を代入する。

$2 = a(1-2)^2 + 4$

$2 = a + 4$

$a = -2$

(2) 放物線 $y = x^2 + bx + 2$ が点 $(2, 0)$ を通るので、$x = 2, y = 0$ を代入する。

$0 = 2^2 + b(2) + 2$

$0 = 4 + 2b + 2$

$0 = 6 + 2b$

$2b = -6$

$b = -3$

**問題167**

(1) 頂点が $(1, -2)$ なので、$y = a(x-1)^2 - 2$ と表せる。この放物線が点 $(2, -3)$ を通るので、$x = 2, y = -3$ を代入する。

$-3 = a(2-1)^2 - 2$

$-3 = a - 2$

$a = -1$

よって、$y = -(x-1)^2 - 2 = -(x^2 - 2x + 1) - 2 = -x^2 + 2x - 1 - 2 = -x^2 + 2x - 3$

(2) 頂点が $(-1, 3)$ なので、$y = a(x+1)^2 + 3$ と表せる。この放物線が点 $(1, 11)$ を通るので、$x = 1, y = 11$ を代入する。

$11 = a(1+1)^2 + 3$

$11 = 4a + 3$

$4a = 8$

$a = 2$

よって、$y = 2(x+1)^2 + 3 = 2(x^2 + 2x + 1) + 3 = 2x^2 + 4x + 2 + 3 = 2x^2 + 4x + 5$

**問題168**

(1) 軸が $x = -2$ なので、$y = a(x+2)^2 + q$ と表せる。点 $(0, 3)$ を通るので、$3 = a(0+2)^2 + q \Rightarrow 3 = 4a + q$。点 $(-1, 0)$ を通るので、$0 = a(-1+2)^2 + q \Rightarrow 0 = a + q$。

この連立方程式を解く。

$q = -a$

$3 = 4a - a$

$3 = 3a$

$a = 1$

$q = -1$

よって、$y = (x+2)^2 - 1 = x^2 + 4x + 4 - 1 = x^2 + 4x + 3$

(2) 軸が $x = 1$ なので、$y = a(x-1)^2 + q$ と表せる。点 $(3, -1)$ を通るので、$-1 = a(3-1)^2 + q \Rightarrow -1 = 4a + q$。点 $(0, 2)$ を通るので、$2 = a(0-1)^2 + q \Rightarrow 2 = a + q$。

この連立方程式を解く。

$q = 2 - a$

$-1 = 4a + 2 - a$

$-3 = 3a$

$a = -1$

$q = 2 - (-1) = 3$

よって、$y = -(x-1)^2 + 3 = -(x^2 - 2x + 1) + 3 = -x^2 + 2x - 1 + 3 = -x^2 + 2x + 2$

**問題169**

(1) $x = 1$ で最小値 $5$ をとるので、$y = a(x-1)^2 + 5$ と表せる。$x = 3$ のとき $y = 7$ なので、$7 = a(3-1)^2 + 5 \Rightarrow 7 = 4a + 5 \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$。

よって、$y = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 5 = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) + 5 = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} + 5 = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{11}{2}$

(2) $x = 2$ で最大値 $4$ をとるので、$y = a(x-2)^2 + 4$ と表せる。点 $(1, 2)$ を通るので、$2 = a(1-2)^2 + 4 \Rightarrow 2 = a + 4 \Rightarrow a = -2$。

よって、$y = -2(x-2)^2 + 4 = -2(x^2 - 4x + 4) + 4 = -2x^2 + 8x - 8 + 4 = -2x^2 + 8x - 4$

**問題170**

(1)

$a + b + c = 5$ (1)

$4a + 2b + c = 10$ (2)

$9a + 3b + c = 19$ (3)

(2) - (1) : $3a + b = 5$ (4)

(3) - (1) : $8a + 2b = 14$ (5)

(5) / 2 : $4a + b = 7$ (6)

(6) - (4) : $a = 2$

(4) に $a = 2$ を代入 : $3(2) + b = 5 \Rightarrow 6 + b = 5 \Rightarrow b = -1$

(1) に $a = 2, b = -1$ を代入 : $2 - 1 + c = 5 \Rightarrow 1 + c = 5 \Rightarrow c = 4$

よって、$a=2, b=-1, c=4$

(2)

$a + b + c = 6$ (1)

$4a - 3b + 2c = 4$ (2)

$5a + 4b - 3c = 4$ (3)

(1) * 2 : $2a + 2b + 2c = 12$ (4)

(2) - (4) : $2a - 5b = -8$ (5)

(1) * 3 : $3a + 3b + 3c = 18$ (6)

(3) + (6) : $8a + 7b = 22$ (7)

(5) * 4 : $8a - 20b = -32$ (8)

(7) - (8) : $27b = 54$

$b = 2$

(5) に $b=2$ を代入 : $2a - 5(2) = -8 \Rightarrow 2a - 10 = -8 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1$

(1) に $a=1, b=2$ を代入 : $1 + 2 + c = 6 \Rightarrow 3 + c = 6 \Rightarrow c = 3$

よって、$a=1, b=2, c=3$

(3)

$2x + 3y + 4z = 5$ (1)

$4x - 2y + 3z = 8$ (2)

$2x + 4y + z = -2$ (3)

(1) - (3) : $-y + 3z = 7 \Rightarrow y = 3z - 7$ (4)

(1) * 2 - (2) : $8y + 5z = 2$ (5)

(5) に (4) を代入 : $8(3z - 7) + 5z = 2 \Rightarrow 24z - 56 + 5z = 2 \Rightarrow 29z = 58 \Rightarrow z = 2$

(4) に $z=2$ を代入 : $y = 3(2) - 7 \Rightarrow y = 6 - 7 \Rightarrow y = -1$

(3) に $y=-1, z=2$ を代入 : $2x + 4(-1) + 2 = -2 \Rightarrow 2x - 4 + 2 = -2 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$

よって、$x=0, y=-1, z=2$

**問題171**

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

点 $(-1, 9)$ を通るので、$9 = a(-1)^2 + b(-1) + c \Rightarrow 9 = a - b + c$ (1)

点 $(1, -1)$ を通るので、$-1 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow -1 = a + b + c$ (2)

点 $(2, 0)$ を通るので、$0 = a(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 0 = 4a + 2b + c$ (3)

(1) - (2) : $10 = -2b \Rightarrow b = -5$

(1) に $b=-5$ を代入 : $9 = a + 5 + c \Rightarrow a + c = 4 \Rightarrow c = 4 - a$ (4)

(3) に $b=-5$ を代入 : $0 = 4a - 10 + c$ (5)

(5) に (4) を代入 : $0 = 4a - 10 + 4 - a \Rightarrow 0 = 3a - 6 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2$

(4) に $a=2$ を代入 : $c = 4 - 2 = 2$

よって、$y = 2x^2 - 5x + 2$

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

点 $(-2, 16)$ を通るので、$16 = a(-2)^2 + b(-2) + c \Rightarrow 16 = 4a - 2b + c$ (1)

点 $(1, 1)$ を通るので、$1 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow 1 = a + b + c$ (2)

点 $(3, 21)$ を通るので、$21 = a(3)^2 + b(3) + c \Rightarrow 21 = 9a + 3b + c$ (3)

(1) - (2) : $15 = 3a - 3b \Rightarrow 5 = a - b \Rightarrow a = b + 5$ (4)

(3) - (2) : $20 = 8a + 2b \Rightarrow 10 = 4a + b$ (5)

(5) に (4) を代入 : $10 = 4(b + 5) + b \Rightarrow 10 = 4b + 20 + b \Rightarrow -10 = 5b \Rightarrow b = -2$

(4) に $b=-2$ を代入 : $a = -2 + 5 = 3$

(2) に $a=3, b=-2$ を代入 : $1 = 3 - 2 + c \Rightarrow 1 = 1 + c \Rightarrow c = 0$

よって、$y = 3x^2 - 2x$

3. 最終的な答え

* **166**

(1) $a = -2$

(2) $b = -3$

* **167**

(1) $y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 + 4x + 5$

* **168**

(1) $y = x^2 + 4x + 3$

(2) $y = -x^2 + 2x + 2$

* **169**

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{11}{2}$

(2) $y = -2x^2 + 8x - 4$

* **170**

(1) $a=2, b=-1, c=4$

(2) $a=1, b=2, c=3$

(3) $x=0, y=-1, z=2$

* **171**

(1) $y = 2x^2 - 5x + 2$

(2) $y = 3x^2 - 2x$