与えられた指数方程式または対数方程式を解きます。具体的には、 (1) $(0.5)^{2x} > 0.125$ (2) $2^{5-2x} - 2^{2-x} - 1 = 0$ (3) $\log_2 x + \log_2 (x-1) = \log_2 6$ (4) $\log_{\frac{1}{3}} (2-x) \geq -1$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた指数方程式または対数方程式を解きます。具体的には、

(1) $(0.5)^{2x} > 0.125$

(2) $2^{5-2x} - 2^{2-x} - 1 = 0$

(3) $\log_2 x + \log_2 (x-1) = \log_2 6$

(4) $\log_{\frac{1}{3}} (2-x) \geq -1$

を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $(0.5)^{2x} > 0.125$

$0.125 = \frac{1}{8} = (0.5)^3$ なので、

$(0.5)^{2x} > (0.5)^3$

底が $0.5 < 1$ なので、指数の大小関係は逆転します。

$2x < 3$

$x < \frac{3}{2}$

(2) $2^{5-2x} - 2^{2-x} - 1 = 0$

$2^{5-2x} = 2^5 \cdot 2^{-2x} = 32 \cdot (2^{-x})^2$

$2^{2-x} = 2^2 \cdot 2^{-x} = 4 \cdot 2^{-x}$

$2^{-x} = t$ とおくと、$t > 0$

$32t^2 - 4t - 1 = 0$

$(8t+1)(4t-1) = 0$

$t = -\frac{1}{8}, \frac{1}{4}$

$t>0$ より $t = \frac{1}{4}$

$2^{-x} = \frac{1}{4} = 2^{-2}$

$-x = -2$

$x = 2$

(3) $\log_2 x + \log_2 (x-1) = \log_2 6$

真数条件より $x > 0$ かつ $x-1 > 0$ なので、$x > 1$

$\log_2 x(x-1) = \log_2 6$

$x(x-1) = 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

$x = 3, -2$

$x > 1$ より $x = 3$

(4) $\log_{\frac{1}{3}} (2-x) \geq -1$

真数条件より $2-x > 0$ なので、$x < 2$

底が $\frac{1}{3} < 1$ なので、

$2-x \leq (\frac{1}{3})^{-1} = 3$

$2-x \leq 3$

$-x \leq 1$

$x \geq -1$

よって、$-1 \leq x < 2$

3. 最終的な答え

(1) $x < \frac{3}{2}$

(2) $x = 2$

(3) $x = 3$

(4) $-1 \leq x < 2$