与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、問題番号(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12)のそれぞれについて、分母に根号が含まれていない形に変形します。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。具体的には、問題番号(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12)のそれぞれについて、分母に根号が含まれていない形に変形します。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}+1}$

分母の共役な複素数$\sqrt{5}-1$を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+1} = \frac{1}{\sqrt{5}+1} \times \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{5}-1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(2) $\frac{2}{4-\sqrt{6}}$

分母の共役な複素数$4+\sqrt{6}$を分子と分母にかけます。

$\frac{2}{4-\sqrt{6}} = \frac{2}{4-\sqrt{6}} \times \frac{4+\sqrt{6}}{4+\sqrt{6}} = \frac{2(4+\sqrt{6})}{4^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{2(4+\sqrt{6})}{16-6} = \frac{2(4+\sqrt{6})}{10} = \frac{4+\sqrt{6}}{5}$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}$

分母の共役な複素数$3-\sqrt{5}$を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}} \times \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{15}}{9-5} = \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{4}$

(4) $\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2}$

分母の共役な複素数$\sqrt{7}+2$を分子と分母にかけます。

$\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} = \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} \times \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2} = \frac{3\sqrt{7}(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{3(7) + 6\sqrt{7}}{7-4} = \frac{21+6\sqrt{7}}{3} = 7+2\sqrt{7}$

(5) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

分母の共役な複素数$\sqrt{3}-\sqrt{2}$を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(6) $\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

分母の共役な複素数$\sqrt{5}+\sqrt{3}$を分子と分母にかけます。

$\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = 2(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 2\sqrt{5}+2\sqrt{3}$

(7) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

分母の共役な複素数$\sqrt{6}-\sqrt{2}$を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{6}}{6-2} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

(8) $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$

分母の共役な複素数$\sqrt{7}+\sqrt{5}$を分子と分母にかけます。また、$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$です。

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2\sqrt{35}+2(5)}{7-5} = \frac{2\sqrt{35}+10}{2} = \sqrt{35}+5$

(9) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

分母の共役な複素数$\sqrt{5}+\sqrt{2}$を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5+2\sqrt{10}+2}{5-2} = \frac{7+2\sqrt{10}}{3}$

(10) $\frac{4+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

分母の共役な複素数$3-\sqrt{3}$を分子と分母にかけます。

$\frac{4+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{4+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \times \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} = \frac{(4+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{12 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3}{9-3} = \frac{9-\sqrt{3}}{6} = \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$

(11) $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}$

分母の共役な複素数$2\sqrt{3}+\sqrt{6}$を分子と分母にかけます。

$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}} \times \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2\sqrt{3}+\sqrt{6}} = \frac{(3\sqrt{3}-\sqrt{6})(2\sqrt{3}+\sqrt{6})}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{6(3)+3\sqrt{18}-2\sqrt{18}-6}{4(3)-6} = \frac{18+3\sqrt{18}-2\sqrt{18}-6}{12-6} = \frac{12+\sqrt{18}}{6} = \frac{12+3\sqrt{2}}{6} = 2+\frac{\sqrt{2}}{2}$

(12) $\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}$

分母の共役な複素数$2\sqrt{5}-3\sqrt{2}$を分子と分母にかけます。

$\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}} \times \frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} = \frac{(4\sqrt{2}-3\sqrt{5})(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})}{(2\sqrt{5})^2 - (3\sqrt{2})^2} = \frac{8\sqrt{10}-12(2)-6(5)+9\sqrt{10}}{4(5)-9(2)} = \frac{17\sqrt{10}-24-30}{20-18} = \frac{17\sqrt{10}-54}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(2) $\frac{4+\sqrt{6}}{5}$

(3) $\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{4}$

(4) $7+2\sqrt{7}$

(5) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(6) $2\sqrt{5}+2\sqrt{3}$

(7) $\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

(8) $\sqrt{35}+5$

(9) $\frac{7+2\sqrt{10}}{3}$

(10) $\frac{9-\sqrt{3}}{6}$

(11) $2+\frac{\sqrt{2}}{2}$

(12) $\frac{17\sqrt{10}-54}{2}$