$(a - 2b)^5$ の二項展開における $a^2b^3$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(a - 2b)^5$ の二項展開における $a^2b^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理により、$(a - 2b)^5$ の展開式の一般項は次のようになります。

${}_5 C_k a^{5-k} (-2b)^k = {}_5 C_k (-2)^k a^{5-k} b^k$

$a^2 b^3$ の項を求めるので、$5-k = 2$ かつ $k = 3$ となる必要があります。したがって、$k=3$を代入すると、

${}_5 C_3 (-2)^3 a^{5-3} b^3 = {}_5 C_3 (-2)^3 a^2 b^3$

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(-2)^3 = -8$

よって、$a^2b^3$ の係数は

$10 \times (-8) = -80$

3. 最終的な答え

-80