$(3x - 2y)^8$ の二項展開における $x^3y^5$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

$(3x - 2y)^8$ の二項展開における $x^3y^5$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(a+b)^n$ の展開における一般項は $_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}$ で与えられます。

今回の問題では、$a = 3x$, $b = -2y$, $n = 8$ です。

$x^3y^5$の項を得るためには、$(3x)^{n-r}$から$x^3$が出て、$(-2y)^r$から$y^5$が出れば良いので、$n-r = 3$かつ$r = 5$となる必要があります。$n=8$なので、$8-r = 3$となり、$r = 5$を満たします。

したがって、$x^3y^5$の項は$_{8}C_{5}(3x)^{3}(-2y)^{5}$で与えられます。

係数を計算します。

$_{8}C_{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

$(3x)^3 = 27x^3$

$(-2y)^5 = -32y^5$

したがって、$x^3y^5$の項は

$56 \times 27x^3 \times (-32)y^5 = 56 \times 27 \times (-32) x^3y^5 = -48384x^3y^5$

したがって、$x^3y^5$の係数は $-48384$ となります。

3. 最終的な答え

$-48384$