与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$, $P_1 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, $P_2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。 (1) $A = 3P_1 - P_2$, $P_1^2 = P_1$, $P_2^2 = P_2$, $P_1P_2 = P_2P_1 = 0$ を確認する。 (2) $A^4 - 27A + E$ を計算する。ただし、$E$ は単位行列である。 (3) $A^n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$, $P_1 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$, $P_2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。

(1) $A = 3P_1 - P_2$, $P_1^2 = P_1$, $P_2^2 = P_2$, $P_1P_2 = P_2P_1 = 0$ を確認する。

(2) $A^4 - 27A + E$ を計算する。ただし、$E$ は単位行列である。

(3) $A^n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$A = 3P_1 - P_2$ を確認する。

$3P_1 - P_2 = 3\cdot \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 12 & 6 \end{pmatrix} - \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 16 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = A$

したがって、$A = 3P_1 - P_2$ が成り立つ。

次に、$P_1^2 = P_1$ を確認する。

$P_1^2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 16 & 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = P_1$

したがって、$P_1^2 = P_1$ が成り立つ。

次に、$P_2^2 = P_2$ を確認する。

$P_2^2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 8 & -4 \\ -16 & 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = P_2$

したがって、$P_2^2 = P_2$ が成り立つ。

次に、$P_1P_2 = 0$ を確認する。

$P_1P_2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$

したがって、$P_1P_2 = 0$ が成り立つ。

最後に、$P_2P_1 = 0$ を確認する。

$P_2P_1 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$

したがって、$P_2P_1 = 0$ が成り立つ。

(2) $A = 3P_1 - P_2$ より、

$A^2 = (3P_1 - P_2)^2 = (3P_1 - P_2)(3P_1 - P_2) = 9P_1^2 - 3P_1P_2 - 3P_2P_1 + P_2^2 = 9P_1 + P_2$

$A^3 = A^2 A = (9P_1 + P_2)(3P_1 - P_2) = 27P_1^2 - 9P_1P_2 + 3P_2P_1 - P_2^2 = 27P_1 - P_2$

$A^4 = A^3 A = (27P_1 - P_2)(3P_1 - P_2) = 81P_1^2 - 27P_1P_2 - 3P_2P_1 + P_2^2 = 81P_1 + P_2$

したがって、

$A^4 - 27A + E = (81P_1 + P_2) - 27(3P_1 - P_2) + E = 81P_1 + P_2 - 81P_1 + 27P_2 + E = 28P_2 + E = 28 \cdot \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 7 \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & -7 \\ -28 & 14 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -28 & 15 \end{pmatrix}$.

(3) $A = 3P_1 - P_2$ より、$A^n = (3P_1 - P_2)^n$.

$A^n = \alpha P_1 + \beta P_2$ とおく。

$A^1 = 3P_1 - P_2$, $A^2 = 9P_1 + P_2$, $A^3 = 27P_1 - P_2$ より、

$A^n = 3^n P_1 + (-1)^n P_2$

$A^n = 3^n \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} + (-1)^n \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2(3^n + (-1)^n) & 3^n - (-1)^n \\ 4(3^n - (-1)^n) & 2(3^n + (-1)^n) \end{pmatrix}$.

3. 最終的な答え

(1) $A = 3P_1 - P_2$, $P_1^2 = P_1$, $P_2^2 = P_2$, $P_1P_2 = P_2P_1 = 0$ は成り立つ。

(2) $A^4 - 27A + E = \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -28 & 15 \end{pmatrix}$

(3) $A^n = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2(3^n + (-1)^n) & 3^n - (-1)^n \\ 4(3^n - (-1)^n) & 2(3^n + (-1)^n) \end{pmatrix}$