与えられた3次式を因数定理を用いて因数分解する問題です。問題は4つあります。 (1) $x^3 + 3x^2 - 4$ (2) $2x^3 + 5x^2 + x - 2$ (3) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ (4) $3x^3 + 4x^2 - 17x - 6$

1. 問題の内容

与えられた3次式を因数定理を用いて因数分解する問題です。問題は4つあります。

(1) $x^3 + 3x^2 - 4$

(2) $2x^3 + 5x^2 + x - 2$

(3) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$

(4) $3x^3 + 4x^2 - 17x - 6$

2. 解き方の手順

因数定理とは、$P(a) = 0$ ならば、$P(x)$ は $(x-a)$ を因数に持つという定理です。

各多項式 $P(x)$ に対して、$P(a) = 0$ となる $a$ を見つけ、$(x-a)$ で割ることで因数分解を行います。

(1) $P(x) = x^3 + 3x^2 - 4$

$P(1) = 1 + 3 - 4 = 0$ なので、$(x-1)$ は因数です。

実際に割ると、

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x-1)(x^2 + 4x + 4) = (x-1)(x+2)^2$

(2) $P(x) = 2x^3 + 5x^2 + x - 2$

$P(-1) = -2 + 5 - 1 - 2 = 0$ なので、$(x+1)$ は因数です。

実際に割ると、

$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x+1)(2x^2 + 3x - 2) = (x+1)(2x-1)(x+2)$

(3) $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$

$P(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$ なので、$(x-2)$ は因数です。

実際に割ると、

$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x-2)(x^2 - x - 6) = (x-2)(x-3)(x+2)$

(4) $P(x) = 3x^3 + 4x^2 - 17x - 6$

$P(2) = 24 + 16 - 34 - 6 = 0$ なので、$(x-2)$ は因数です。

実際に割ると、

$3x^3 + 4x^2 - 17x - 6 = (x-2)(3x^2 + 10x + 3) = (x-2)(3x+1)(x+3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x+2)^2$

(2) $(x+1)(2x-1)(x+2)$

(3) $(x-2)(x-3)(x+2)$

(4) $(x-2)(3x+1)(x+3)$