$n$次元列ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は零ベクトルではないとする。このとき、$n$ 次正方行列 $\mathbf{a} \mathbf{b}^T$ の階数 (rank) を求めよ。

1. 問題の内容

$n$次元列ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は零ベクトルではないとする。このとき、$n$ 次正方行列 $\mathbf{a} \mathbf{b}^T$ の階数 (rank) を求めよ。

2. 解き方の手順

$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は $n$ 次元の列ベクトルであるとする。したがって、$\mathbf{a}$ は $n \times 1$ の行列であり、$\mathbf{b}^T$ は $1 \times n$ の行列である。行列 $\mathbf{a} \mathbf{b}^T$ は $n \times n$ の行列となる。

行列 $\mathbf{a} \mathbf{b}^T$ の各列は、$\mathbf{a}$ のスカラー倍である。なぜなら、$\mathbf{b}^T = [b_1, b_2, \dots, b_n]$ とすると、

$\mathbf{a} \mathbf{b}^T = \mathbf{a} [b_1, b_2, \dots, b_n] = [b_1\mathbf{a}, b_2\mathbf{a}, \dots, b_n\mathbf{a}]$

となるからである。したがって、行列 $\mathbf{a} \mathbf{b}^T$ の列空間は、$\mathbf{a}$ によって張られる1次元の部分空間に含まれる。$\mathbf{a}$ は零ベクトルではないので、この部分空間は自明な $\{0\}$ ではない。

もし $\mathbf{b}$ が零ベクトルならば、$\mathbf{b}^T$ も零ベクトルとなり、$\mathbf{a} \mathbf{b}^T$ は零行列となる。この場合、階数は0となる。しかし、問題文より $\mathbf{b}$ は零ベクトルではないため、$\mathbf{b}$ の少なくとも一つの要素 $b_i$ は 0 ではない。このとき、$b_i \mathbf{a}$ は零ベクトルではないため、$\mathbf{a} \mathbf{b}^T$ は零行列ではない。したがって、$\mathbf{a} \mathbf{b}^T$ の階数は1となる。

3. 最終的な答え

1