$n \ge 2$ のとき、数列の和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ を求める。

1. 問題の内容

$n \ge 2$ のとき、数列の和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ とする。

この式に2をかけると、

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n$ となる。

$S - 2S$ を計算すると、

$-S = 1 \cdot 1 + (3-1) \cdot 2 + (5-3) \cdot 2^2 + \dots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

括弧の中は等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-2} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = -3 + 2^{n+1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = -3 + 2 \cdot 2^n - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = -3 + (2 - (2n-1)) \cdot 2^n$

$-S = -3 + (3 - 2n) \cdot 2^n$

$S = 3 + (2n - 3) \cdot 2^n$

3. 最終的な答え

$S = (2n - 3)2^n + 3$