$n$ 次正方行列 $A$ が与えられたとき、次の $2n$ 次正方行列 $\tilde{A}$ を考えます。 $$\tilde{A} = \begin{bmatrix} I_n & A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$$ ここで、$I_n$ は $n$ 次の単位行列、$O_{n \times n}$ は $n \times n$ の零行列です。 (i) 正の整数 $m$ に対して、$(\tilde{A})^m$ を求めます。 (ii) $\tilde{A}$ の逆行列を求めます。

1. 問題の内容

$n$ 次正方行列 $A$ が与えられたとき、次の $2n$ 次正方行列 $\tilde{A}$ を考えます。

$$\tilde{A} = \begin{bmatrix} I_n & A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$$

ここで、$I_n$ は $n$ 次の単位行列、$O_{n \times n}$ は $n \times n$ の零行列です。

(i) 正の整数 $m$ に対して、$(\tilde{A})^m$ を求めます。

(ii) $\tilde{A}$ の逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

(i) $(\tilde{A})^m$ を求めるために、まず $\tilde{A}^2$ を計算します。

$$\tilde{A}^2 = \tilde{A} \tilde{A} = \begin{bmatrix} I_n & A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_n & A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_n & A + A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_n & 2A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$$

次に、$\tilde{A}^3$ を計算します。

$$\tilde{A}^3 = \tilde{A}^2 \tilde{A} = \begin{bmatrix} I_n & 2A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_n & A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_n & 2A + A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_n & 3A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$$

帰納的に、$(\tilde{A})^m = \begin{bmatrix} I_n & mA \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$ と推測できます。

これを数学的帰納法で証明します。

$m = 1$ のとき、$(\tilde{A})^1 = \tilde{A} = \begin{bmatrix} I_n & A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$ なので成立します。

$m = k$ のとき、$(\tilde{A})^k = \begin{bmatrix} I_n & kA \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$ と仮定します。

$m = k+1$ のとき、

\begin{align*} (\tilde{A})^{k+1} &= (\tilde{A})^k \tilde{A} \\ &= \begin{bmatrix} I_n & kA \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_n & A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} I_n & A + kA \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} I_n & (k+1)A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} \end{align*}

したがって、数学的帰納法により、$(\tilde{A})^m = \begin{bmatrix} I_n & mA \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$ が成立します。

(ii) $\tilde{A}$ の逆行列を $\begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix}$ とすると、

$$\begin{bmatrix} I_n & A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_n & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$$

これから、

$X + AZ = I_n$

$Y + AW = O_{n \times n}$

$Z = O_{n \times n}$

$W = I_n$

を得ます。

したがって、$X = I_n$、$W = I_n$、$Z = O_{n \times n}$、$Y = -A$ となります。

よって、$\tilde{A}^{-1} = \begin{bmatrix} I_n & -A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(i) $(\tilde{A})^m = \begin{bmatrix} I_n & mA \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$

(ii) $\tilde{A}^{-1} = \begin{bmatrix} I_n & -A \\ O_{n \times n} & I_n \end{bmatrix}$