行列 $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ による変換で直線 $L$ が直線 $x+2y-6=0$ に移されたとき、変換前の直線 $L$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

行列 $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ による変換で直線 $L$ が直線 $x+2y-6=0$ に移されたとき、変換前の直線 $L$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を $A$ とおく。すなわち、

$A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$

変換前の点を $(x', y')$、変換後の点を $(x, y)$ とすると、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

したがって、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を計算する。

$A$ の行列式 $|A| = 4 \cdot 2 - (-3) \cdot (-2) = 8 - 6 = 2$

したがって、

$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

よって、

$x' = x + \frac{3}{2}y$

$y' = x + 2y$

変換後の直線の方程式 $x+2y-6=0$ に $x'$ と $y'$ を代入して、変換前の直線の方程式を求める。

$x' + 2y' - 6 = (x + \frac{3}{2}y) + 2(x + 2y) - 6 = 0$

$x + \frac{3}{2}y + 2x + 4y - 6 = 0$

$3x + \frac{11}{2}y - 6 = 0$

両辺に2をかけて、

$6x + 11y - 12 = 0$

3. 最終的な答え

変換前の直線の方程式は $6x + 11y - 12 = 0$ である。