与えられた2変数多項式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 4x - 7y + 3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 4x - 7y + 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (3y - 4)x + (2y^2 - 7y + 3)$

次に、定数項 $2y^2 - 7y + 3$ を因数分解します。

$2y^2 - 7y + 3 = (2y - 1)(y - 3)$

与式を因数分解された形 $(x + ay + b)(x + cy + d)$ で表すことを目指します。展開すると

$x^2 + (a+c)xy + ac y^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

となります。

この式と元の式を比較すると、

$a+c = 3$, $ac = 2$, $b+d = -4$, $ad+bc = -7$, $bd = 3$

となります。

$ac=2$ より、$a=1, c=2$ もしくは $a=2, c=1$ が考えられます。

$a=1, c=2$ のとき、$ad + bc = d + 2b = -7$, $b+d = -4$。この連立方程式を解くと $d = -4-b$ より $d+2b = -4 -b + 2b = b - 4 = -7$ つまり $b = -3$。よって $d = -1$。

$bd = (-3)(-1) = 3$ となり条件を満たします。

$a=2, c=1$ のとき、$ad + bc = 2d + b = -7$, $b+d = -4$。この連立方程式を解くと $b=-4-d$ より $2d + (-4-d) = d-4 = -7$ つまり $d = -3$。よって $b= -1$。

$bd = (-1)(-3) = 3$ となり条件を満たします。

したがって、$x^2 + (3y - 4)x + (2y^2 - 7y + 3) = (x + y - 3)(x + 2y - 1)$ あるいは $(x + 2y - 3)(x+y-1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x + y - 3)(x + 2y - 1)$