$a = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$ と $b = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ が与えられています。 (1) $a$ と $b$ の分母を有理化しなさい。 (2) $a^2 + b^2$ を求めなさい。 (3) $a$ の小数部分を $p$ とするとき、$p + \frac{1}{p}$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$ と $b = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ が与えられています。

(1) $a$ と $b$ の分母を有理化しなさい。

(2) $a^2 + b^2$ を求めなさい。

(3) $a$ の小数部分を $p$ とするとき、$p + \frac{1}{p}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の分母を有理化するには、分子と分母に $\sqrt{5}+2$ を掛けます。

$a = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$b = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ の分母を有理化するには、分子と分母に $\sqrt{5}-2$ を掛けます。

$b = \frac{1}{\sqrt{5}+2} \cdot \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 = (\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(2) + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

$b^2 = (\sqrt{5}-2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(2) + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

$a^2 + b^2 = (9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18$

(3) $a$ の小数部分を $p$ とするとき、$p + \frac{1}{p}$ の値を求める。

$a = \sqrt{5} + 2$ であり、$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$ なので、$\sqrt{5}$ の整数部分は 2 です。

したがって、$a$ の整数部分は $2+2=4$ であり、小数部分は $p = a - 4 = (\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5} - 2$ です。

$\frac{1}{p} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$p + \frac{1}{p} = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{5} + 2$, $b = \sqrt{5} - 2$

(2) $a^2 + b^2 = 18$

(3) $p + \frac{1}{p} = 2\sqrt{5}$