等差数列 $a_1, a_2, a_3$ について、$a_2=5$ かつ $a_1a_2a_3=80$ が成り立つとき、$a_1$と公差を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $a_1, a_2, a_3$ について、$a_2=5$ かつ $a_1a_2a_3=80$ が成り立つとき、$a_1$と公差を求めよ。

2. 解き方の手順

$a_1, a_2, a_3$ は等差数列であるから、公差を $d$ とすると、

$a_1 = a_2 - d = 5 - d$

$a_3 = a_2 + d = 5 + d$

と表せる。

$a_1 a_2 a_3 = 80$ より

$(5-d) \cdot 5 \cdot (5+d) = 80$

$5(25 - d^2) = 80$

$25 - d^2 = 16$

$d^2 = 9$

$d = \pm 3$

(i) $d = 3$ のとき、

$a_1 = 5 - 3 = 2$

(ii) $d = -3$ のとき、

$a_1 = 5 - (-3) = 8$

したがって、$a_1=2$ のとき公差は $3$、$a_1=8$ のとき公差は $-3$ である。

3. 最終的な答え

$a_1 = 2$ のとき、公差は $3$

$a_1 = 8$ のとき、公差は $-3$