次の2次関数について、最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = 2x^2 - 1$ (2) $y = -x^2 + 7$ (3) $y = (x - 1)^2 + 2$ (4) $y = -(x + 2)^2$ (5) $y = 2(x + 3)^2 - 2$ (6) $y = -3(x - 1)^2 + 1$

1. 問題の内容

次の2次関数について、最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = 2x^2 - 1$

(2) $y = -x^2 + 7$

(3) $y = (x - 1)^2 + 2$

(4) $y = -(x + 2)^2$

(5) $y = 2(x + 3)^2 - 2$

(6) $y = -3(x - 1)^2 + 1$

2. 解き方の手順

各2次関数について、平方完成またはグラフの形状から最大値または最小値を判断します。

(1) $y = 2x^2 - 1$

$x^2$の係数が正なので下に凸のグラフになり、最小値を持ちます。$x = 0$ のとき最小値 $y = -1$ をとります。最大値はありません。

(2) $y = -x^2 + 7$

$x^2$の係数が負なので上に凸のグラフになり、最大値を持ちます。$x = 0$ のとき最大値 $y = 7$ をとります。最小値はありません。

(3) $y = (x - 1)^2 + 2$

$x^2$の係数が正なので下に凸のグラフになり、最小値を持ちます。$x = 1$ のとき最小値 $y = 2$ をとります。最大値はありません。

(4) $y = -(x + 2)^2$

$x^2$の係数が負なので上に凸のグラフになり、最大値を持ちます。$x = -2$ のとき最大値 $y = 0$ をとります。最小値はありません。

(5) $y = 2(x + 3)^2 - 2$

$x^2$の係数が正なので下に凸のグラフになり、最小値を持ちます。$x = -3$ のとき最小値 $y = -2$ をとります。最大値はありません。

(6) $y = -3(x - 1)^2 + 1$

$x^2$の係数が負なので上に凸のグラフになり、最大値を持ちます。$x = 1$ のとき最大値 $y = 1$ をとります。最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$ で最小値 $-1$, 最大値はない

(2) $x = 0$ で最大値 $7$, 最小値はない

(3) $x = 1$ で最小値 $2$, 最大値はない

(4) $x = -2$ で最大値 $0$, 最小値はない

(5) $x = -3$ で最小値 $-2$, 最大値はない

(6) $x = 1$ で最大値 $1$, 最小値はない