与えられた2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。ここで、

* $a > 0$ のとき、下に凸なグラフになり、$x = p$ で最小値 $q$ を取ります。最大値はありません。

* $a < 0$ のとき、上に凸なグラフになり、$x = p$ で最大値 $q$ を取ります。最小値はありません。

(1) $y = x^2 - 2x$

$y = (x-1)^2 - 1$

$x = 1$ で最小値 $-1$ をとる。最大値はない。

(2) $y = 2x^2 + 4x + 9$

$y = 2(x^2 + 2x) + 9 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 9 = 2((x+1)^2 - 1) + 9 = 2(x+1)^2 - 2 + 9 = 2(x+1)^2 + 7$

$x = -1$ で最小値 $7$ をとる。最大値はない。

(3) $y = -x^2 + 4x - 2$

$y = -(x^2 - 4x) - 2 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2 = -((x-2)^2 - 4) - 2 = -(x-2)^2 + 4 - 2 = -(x-2)^2 + 2$

$x = 2$ で最大値 $2$ をとる。最小値はない。

(4) $y = -3x^2 + 6x + 2$

$y = -3(x^2 - 2x) + 2 = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2 = -3((x-1)^2 - 1) + 2 = -3(x-1)^2 + 3 + 2 = -3(x-1)^2 + 5$

$x = 1$ で最大値 $5$ をとる。最小値はない。

(5) $y = 2x^2 + 2x - 1$

$y = 2(x^2 + x) - 1 = 2(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 1 = 2((x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 1 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

$x = -\frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{3}{2}$ をとる。最大値はない。

(6) $y = -2x^2 + 6x - 3$

$y = -2(x^2 - 3x) - 3 = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 3 = -2((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 3 = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 3 = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2}$ で最大値 $\frac{3}{2}$ をとる。最小値はない。

3. 最終的な答え

(1) 最小値 $-1$ (x=1), 最大値なし

(2) 最小値 $7$ (x=-1), 最大値なし

(3) 最大値 $2$ (x=2), 最小値なし

(4) 最大値 $5$ (x=1), 最小値なし

(5) 最小値 $-\frac{3}{2}$ (x=-1/2), 最大値なし

(6) 最大値 $\frac{3}{2}$ (x=3/2), 最小値なし