(1) 絶対値記号を含む方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解きます。 (2) 絶対値記号を含む不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解きます。

1. 問題の内容

(1) 絶対値記号を含む方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ を解きます。

(2) 絶対値記号を含む不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $|2x| + |x-2| = 6$ について

場合分けを行います。

(i) $x < 0$ のとき:

$2x < 0$ なので $|2x| = -2x$

$x-2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

よって、$-2x - x + 2 = 6$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

これは $x < 0$ を満たすので、解の一つです。

(ii) $0 \leq x < 2$ のとき:

$2x \geq 0$ なので $|2x| = 2x$

$x-2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

よって、$2x - x + 2 = 6$

$x = 4$

これは $0 \leq x < 2$ を満たさないので、解ではありません。

(iii) $x \geq 2$ のとき:

$2x > 0$ なので $|2x| = 2x$

$x-2 \geq 0$ なので $|x-2| = x-2$

よって、$2x + x - 2 = 6$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

これは $x \geq 2$ を満たすので、解の一つです。

(2) 不等式 $|2x| + |x-2| < 6$ について

場合分けを行います。

(i) $x < 0$ のとき:

$2x < 0$ なので $|2x| = -2x$

$x-2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

よって、$-2x - x + 2 < 6$

$-3x < 4$

$x > -\frac{4}{3}$

したがって、$-\frac{4}{3} < x < 0$

(ii) $0 \leq x < 2$ のとき:

$2x \geq 0$ なので $|2x| = 2x$

$x-2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

よって、$2x - x + 2 < 6$

$x < 4$

したがって、$0 \leq x < 2$

(iii) $x \geq 2$ のとき:

$2x > 0$ なので $|2x| = 2x$

$x-2 \geq 0$ なので $|x-2| = x-2$

よって、$2x + x - 2 < 6$

$3x < 8$

$x < \frac{8}{3}$

したがって、$2 \leq x < \frac{8}{3}$

(i), (ii), (iii) を合わせると $-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$

(2) $-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$