$x$と$y$は実数であるとき、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) 命題「$xy > 6 \implies x > 2$ かつ $y > 3$」の真偽を調べ、偽である場合は反例を挙げてください。 (2) (1)の命題の逆を述べ、その真偽を調べ、偽である場合は反例を挙げてください。

1. 問題の内容

$x$と$y$は実数であるとき、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) 命題「$xy > 6 \implies x > 2$ かつ $y > 3$」の真偽を調べ、偽である場合は反例を挙げてください。

(2) (1)の命題の逆を述べ、その真偽を調べ、偽である場合は反例を挙げてください。

2. 解き方の手順

(1)

命題「$xy > 6 \implies x > 2$ かつ $y > 3$」の真偽を調べます。

$x$と$y$が実数であるため、反例を見つけることが可能です。例えば、$x = -3$, $y = -2.1$ のとき、$xy = 6.3 > 6$ ですが、$x = -3 < 2$ なので、$x > 2$ かつ $y > 3$ は成り立ちません。したがって、この命題は偽です。

(2)

命題の逆は、「$x > 2$ かつ $y > 3 \implies xy > 6$」です。

$x > 2$ かつ $y > 3$ のとき、$xy > 2 \cdot 3 = 6$ となります。したがって、$xy > 6$ が成り立ちます。

よって、命題の逆は真です。

3. 最終的な答え

(1) 偽。反例：$x = -3$, $y = -2.1$

(2) 命題の逆：「$x > 2$ かつ $y > 3 \implies xy > 6$」。真。