## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

次の等式を満たす実数 $x$, $y$ の値を求める問題です。

(1) $5x - 4i = 5 + 2yi$

(2) $(3x + y) + (y + 6)i = 0$

(3) $(2 + 3i)x + (3 - 2i)y = 8 - i$

(4) $(x + 3i)(-2 + i) = 1 + 2yi$

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2. 解き方の手順

**(1) $5x - 4i = 5 + 2yi$**

複素数の相等条件より、実部と虚部がそれぞれ等しい。

$5x = 5$

$-4 = 2y$

したがって、

$x = 1$

$y = -2$

**(2) $(3x + y) + (y + 6)i = 0$**

複素数の相等条件より、実部と虚部がそれぞれ0である。

$3x + y = 0$

$y + 6 = 0$

したがって、

$y = -6$

$3x - 6 = 0$ より $x = 2$

**(3) $(2 + 3i)x + (3 - 2i)y = 8 - i$**

$2x + 3ix + 3y - 2iy = 8 - i$

$(2x + 3y) + (3x - 2y)i = 8 - i$

複素数の相等条件より、実部と虚部がそれぞれ等しい。

$2x + 3y = 8$

$3x - 2y = -1$

連立方程式を解く。

$2 \times (2x + 3y = 8) \implies 4x + 6y = 16$

$3 \times (3x - 2y = -1) \implies 9x - 6y = -3$

2つの式を足し合わせると、

$13x = 13$

$x = 1$

$2(1) + 3y = 8$

$3y = 6$

$y = 2$

**(4) $(x + 3i)(-2 + i) = 1 + 2yi$**

$-2x + xi - 6i + 3i^2 = 1 + 2yi$

$-2x + xi - 6i - 3 = 1 + 2yi$

$(-2x - 3) + (x - 6)i = 1 + 2yi$

複素数の相等条件より、実部と虚部がそれぞれ等しい。

$-2x - 3 = 1$

$x - 6 = 2y$

したがって、

$-2x = 4$

$x = -2$

$(-2) - 6 = 2y$

$-8 = 2y$

$y = -4$

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3. 最終的な答え

(1) $x = 1, y = -2$

(2) $x = 2, y = -6$

(3) $x = 1, y = 2$

(4) $x = -2, y = -4$