$\sqrt{61 - 5a}$ が整数となるような自然数 $a$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{61 - 5a}$ が整数となるような自然数 $a$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{61 - 5a}$ が整数となるためには、$61 - 5a$ が0以上の整数の平方数となる必要があります。言い換えると、$61 - 5a$ は、$0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...$ のいずれかの値を取る必要があります。

$a$ は自然数なので、$61 - 5a \leq 61 - 5 \times 1 = 56$ であり、$61 - 5a \geq 0$ である必要があります。

したがって、$61 - 5a$ の候補となるのは、$0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ です。

それぞれの候補について、$a$ の値を求めます。

* $61 - 5a = 0$ のとき、$5a = 61$ となり、$a = \frac{61}{5}$ となります。これは整数ではないので不適です。

* $61 - 5a = 1$ のとき、$5a = 60$ となり、$a = 12$ となります。これは自然数なので適します。

* $61 - 5a = 4$ のとき、$5a = 57$ となり、$a = \frac{57}{5}$ となります。これは整数ではないので不適です。

* $61 - 5a = 9$ のとき、$5a = 52$ となり、$a = \frac{52}{5}$ となります。これは整数ではないので不適です。

* $61 - 5a = 16$ のとき、$5a = 45$ となり、$a = 9$ となります。これは自然数なので適します。

* $61 - 5a = 25$ のとき、$5a = 36$ となり、$a = \frac{36}{5}$ となります。これは整数ではないので不適です。

* $61 - 5a = 36$ のとき、$5a = 25$ となり、$a = 5$ となります。これは自然数なので適します。

* $61 - 5a = 49$ のとき、$5a = 12$ となり、$a = \frac{12}{5}$ となります。これは整数ではないので不適です。

$61-5a \ge 0$であるから、$5a \le 61$、$a \le \frac{61}{5} = 12.2$。よって$a$は$1$から$12$までの自然数。

$a = 12, 9, 5$ のとき、$\sqrt{61-5a}$はそれぞれ$1, 4, 6$となり、整数になる。

3. 最終的な答え

$a = 5, 9, 12$