(1) 放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動した曲線で、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある放物線の方程式を求めよ。 (2) 放物線 $y = -2x^2 + 5x$ を平行移動した曲線で、点 $(1, -3)$ を通り、頂点が放物線 $y = x^2 + 4$ 上にある放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ を平行移動した曲線で、点 $(2, 4)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にある放物線の方程式を求めよ。

(2) 放物線 $y = -2x^2 + 5x$ を平行移動した曲線で、点 $(1, -3)$ を通り、頂点が放物線 $y = x^2 + 4$ 上にある放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、頂点の座標を $(p, 2p + 1)$ とおく。

平行移動した放物線の方程式は、$y = (x - p)^2 + 2p + 1$ と表される。

この放物線が点 $(2, 4)$ を通るので、$x = 2$, $y = 4$ を代入すると、

$4 = (2 - p)^2 + 2p + 1$

$4 = 4 - 4p + p^2 + 2p + 1$

$p^2 - 2p + 1 = 0$

$(p - 1)^2 = 0$

$p = 1$

よって、放物線の方程式は $y = (x - 1)^2 + 2(1) + 1 = (x - 1)^2 + 3$

$y = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4$

(2) 頂点が放物線 $y = x^2 + 4$ 上にあるので、頂点の座標を $(p, p^2 + 4)$ とおく。

平行移動した放物線の方程式は、$y = -2(x - p)^2 + p^2 + 4$ と表される。

この放物線が点 $(1, -3)$ を通るので、$x = 1$, $y = -3$ を代入すると、

$-3 = -2(1 - p)^2 + p^2 + 4$

$-3 = -2(1 - 2p + p^2) + p^2 + 4$

$-3 = -2 + 4p - 2p^2 + p^2 + 4$

$0 = -p^2 + 4p + 5$

$p^2 - 4p - 5 = 0$

$(p - 5)(p + 1) = 0$

$p = 5, -1$

$p = 5$ のとき、放物線の方程式は $y = -2(x - 5)^2 + 5^2 + 4 = -2(x - 5)^2 + 29$

$y = -2(x^2 - 10x + 25) + 29 = -2x^2 + 20x - 50 + 29 = -2x^2 + 20x - 21$

$p = -1$ のとき、放物線の方程式は $y = -2(x + 1)^2 + (-1)^2 + 4 = -2(x + 1)^2 + 5$

$y = -2(x^2 + 2x + 1) + 5 = -2x^2 - 4x - 2 + 5 = -2x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x + 4$

(2) $y = -2x^2 + 20x - 21$ または $y = -2x^2 - 4x + 3$