$3^x - 3^{-x} = 2$ のとき、次の式の値を求めよ。 (9) $9^x + 9^{-x}$ (10) $3^x + 3^{-x}$ (11) $27^x + 27^{-x}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

**問題3**

1. 問題の内容

$3^x - 3^{-x} = 2$ のとき、次の式の値を求めよ。

(9) $9^x + 9^{-x}$

(10) $3^x + 3^{-x}$

(11) $27^x + 27^{-x}$

2. 解き方の手順

(9)

$3^x - 3^{-x} = 2$ の両辺を2乗すると、

$(3^x - 3^{-x})^2 = 2^2$

$3^{2x} - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + 3^{-2x} = 4$

$9^x - 2 + 9^{-x} = 4$

$9^x + 9^{-x} = 6$

(10)

$3^x - 3^{-x} = 2$

$3^x + 3^{-x} = a$ とおく

$(3^x - 3^{-x})^2 = (3^x + 3^{-x})^2 - 4 \cdot 3^x \cdot 3^{-x}$

$2^2 = a^2 - 4$

$a^2 = 8$

$a = \pm 2\sqrt{2}$

$3^x > 0$ かつ $3^{-x} > 0$ より、$3^x + 3^{-x} > 0$ であるから

$3^x + 3^{-x} = 2\sqrt{2}$

(11)

$(3^x + 3^{-x})^3 = (3^x)^3 + 3 (3^x)^2 (3^{-x}) + 3 (3^x) (3^{-x})^2 + (3^{-x})^3$

$(3^x + 3^{-x})^3 = (3^x)^3 + (3^{-x})^3 + 3(3^x + 3^{-x})$

$(2\sqrt{2})^3 = 27^x + 27^{-x} + 3(2\sqrt{2})$

$16\sqrt{2} = 27^x + 27^{-x} + 6\sqrt{2}$

$27^x + 27^{-x} = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(9) 6

(10) $2\sqrt{2}$

(11) $10\sqrt{2}$

**問題4**

1. 問題の内容

次の数を小さい方から順に並べよ。

(12) $\sqrt[3]{2}, (\frac{1}{4})^{-1}, \sqrt[5]{64}$

(13) $\sqrt[3]{0.3}, \frac{1}{0.3^2}, 1, 0.3^3$

2. 解き方の手順

(12)

$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}} = 2^{0.333...}$

$(\frac{1}{4})^{-1} = 4 = 2^2$

$\sqrt[5]{64} = 64^{\frac{1}{5}} = (2^6)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6}{5}} = 2^{1.2}$

したがって、小さい順に $\sqrt[3]{2}, \sqrt[5]{64}, (\frac{1}{4})^{-1}$

(13)

$\sqrt[3]{0.3} \approx 0.669$

$\frac{1}{0.3^2} = \frac{1}{0.09} \approx 11.11$

$1 = 1$

$0.3^3 = 0.027$

したがって、小さい順に $0.3^3, \sqrt[3]{0.3}, 1, \frac{1}{0.3^2}$

3. 最終的な答え

(12) $\sqrt[3]{2}, \sqrt[5]{64}, (\frac{1}{4})^{-1}$

(13) $0.3^3, \sqrt[3]{0.3}, 1, \frac{1}{0.3^2}$

**問題6**

1. 問題の内容

次の方程式、不等式を解け。

(16) $9^x = (\sqrt{3})^{x-1}$

(17) $(\frac{1}{4})^x \geq (\frac{1}{16})^{3-x}$

2. 解き方の手順

(16)

$9^x = (\sqrt{3})^{x-1}$

$(3^2)^x = (3^{\frac{1}{2}})^{x-1}$

$3^{2x} = 3^{\frac{1}{2}(x-1)}$

$2x = \frac{1}{2}(x-1)$

$4x = x - 1$

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

(17)

$(\frac{1}{4})^x \geq (\frac{1}{16})^{3-x}$

$(4^{-1})^x \geq (4^{-2})^{3-x}$

$4^{-x} \geq 4^{-2(3-x)}$

$4^{-x} \geq 4^{-6+2x}$

$-x \geq -6 + 2x$

$6 \geq 3x$

$x \leq 2$

3. 最終的な答え

(16) $x = -\frac{1}{3}$

(17) $x \leq 2$