与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には以下の4つの多項式を因数分解します。 (5) $x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ (6) $x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10$ (7) $9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8$ (8) $x^4 - x^3 - x + 1$

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には以下の4つの多項式を因数分解します。

(5) $x^3 + 3x^2 + 3x + 2$

(6) $x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10$

(7) $9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8$

(8) $x^4 - x^3 - x + 1$

2. 解き方の手順

(5) $x^3 + 3x^2 + 3x + 2$

この式は$(x+a)$ の形に因数分解できるか試してみます。

$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 3 - 3 + 2 = 1 \neq 0$

$x = -2$ を代入すると $(-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -8 + 12 - 6 + 2 = 0$

よって、$x+2$ を因数に持つことがわかります。組立除法を使うと、

$(x^3 + 3x^2 + 3x + 2) = (x+2)(x^2+x+1)$

$x^2+x+1$ は判別式$D=1-4=-3<0$なので、これ以上実数の範囲で因数分解できません。

(6) $x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10$

$x=1$ を代入すると $1 - 4 + 10 - 17 + 10 = 0$

よって $x-1$ を因数に持つ。

$x=2$ を代入すると $16 - 32 + 40 - 34 + 10 = 0$

よって $x-2$ を因数に持つ。

従って、$(x-1)(x-2) = x^2-3x+2$ を因数に持つ。

多項式除算を行うと、

$(x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10) = (x^2-3x+2)(x^2 - x + 5)$

$x^2 - x + 5$ は判別式 $D = 1 - 20 = -19 < 0$ なので、これ以上実数の範囲で因数分解できません。

(7) $9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8$

$x= -1$を代入すると $9 - 24 + 13 + 10 - 8 = 0$

よって$x+1$を因数に持つ。

組立除法を行うと

$9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8 = (x+1)(9x^3+15x^2-2x-8)$

$x=-2$を代入すると、 $9(-8) + 15(4) -2(-2) -8 = -72+60+4-8 = -16 \neq 0$

$x=-2/3$を代入すると$9(-8/27)+15(4/9)-2(-2/3)-8 = -8/3 + 20/3 + 4/3 -24/3 = -8/3\neq 0$

$x = -4/3$を代入すると$9(-64/27)+15(16/9)-2(-4/3)-8 = -64/3+80/3+8/3 -24/3 = 0$

よって $x+4/3$を因数に持つ。$3x+4$も因数に持つ。

$(x+1)(3x+4)(3x^2+x-2) = (x+1)(3x+4)(3x-2)(x+1) = (x+1)^2(3x+4)(3x-2)$

(8) $x^4 - x^3 - x + 1$

$x^4-x^3-x+1 = x^3(x-1) - (x-1) = (x^3-1)(x-1) = (x-1)(x^2+x+1)(x-1) = (x-1)^2(x^2+x+1)$

$x^2+x+1$ は判別式$D=1-4=-3<0$なので、これ以上実数の範囲で因数分解できません。

3. 最終的な答え

(5) $(x+2)(x^2+x+1)$

(6) $(x-1)(x-2)(x^2 - x + 5)$

(7) $(x+1)^2(3x+4)(3x-2)$

(8) $(x-1)^2(x^2+x+1)$