問1: 次の式を整理して $a^n$ の形に直せ (ただし、$a>0$ とする)。 (1) $a^4 \cdot a^{-2}$ (2) $(a^2)^{-3}$ (3) $\frac{a^{-5}}{a^{-2}}$ (4) $\frac{\sqrt{a}}{a \sqrt{a}}$ (5) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}$ (6) $(\frac{1}{a^2})^{-\frac{1}{2}}$ 問2: 次を計算して簡単にせよ。 (7) $\sqrt[3]{2\sqrt{2}}$ (8) $24^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。今回は、問1(1)〜(6)と問2(7),(8)を解きます。

1. 問題の内容

問1: 次の式を整理して $a^n$ の形に直せ (ただし、$a>0$ とする)。

(1) $a^4 \cdot a^{-2}$

(2) $(a^2)^{-3}$

(3) $\frac{a^{-5}}{a^{-2}}$

(4) $\frac{\sqrt{a}}{a \sqrt{a}}$

(5) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}$

(6) $(\frac{1}{a^2})^{-\frac{1}{2}}$

問2: 次を計算して簡単にせよ。

(7) $\sqrt[3]{2\sqrt{2}}$

(8) $24^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}}$

2. 解き方の手順

問1:

(1) 指数法則 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ より、$a^4 \cdot a^{-2} = a^{4 + (-2)} = a^2$

(2) 指数法則 $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ より、$(a^2)^{-3} = a^{2 \cdot (-3)} = a^{-6}$

(3) 指数法則 $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ より、$\frac{a^{-5}}{a^{-2}} = a^{-5 - (-2)} = a^{-5 + 2} = a^{-3}$

(4) $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ と $a = a^1$ および $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ を用いて、$\frac{\sqrt{a}}{a\sqrt{a}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^1 \cdot a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{1+\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} = a^{-1}$

(5) $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ を用いて、$\sqrt[3]{\sqrt{a}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6}}$

(6) $(\frac{1}{a^2})^{-\frac{1}{2}} = (a^{-2})^{-\frac{1}{2}} = a^{(-2) \cdot (-\frac{1}{2})} = a^1 = a$

問2:

(7) $\sqrt[3]{2\sqrt{2}} = (2\cdot2^{1/2})^{1/3} = (2^{3/2})^{1/3} = 2^{3/2 \cdot 1/3} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$

(8) $243^{\frac{1}{5}} - 81^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}} = (3^5)^{\frac{1}{5}} - (3^4)^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}} = 3^{5 \cdot \frac{1}{5}} - 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} + \sqrt{3} = 3^1 - 3^1 + \sqrt{3} = 3 - 3 + \sqrt{3} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

問1:

(1) $a^2$

(2) $a^{-6}$

(3) $a^{-3}$

(4) $a^{-1}$

(5) $a^{\frac{1}{6}}$

(6) $a$

問2:

(7) $\sqrt{2}$

(8) $\sqrt{3}$