(2) 関数 $f(x) = x^2 + 2x - 3$ ($x \geq -1$) の値域と逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。 (3) 関数 $f(x) = 4 - x^2$ ($x \leq 0$) の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

(2) 関数 $f(x) = x^2 + 2x - 3$ ($x \geq -1$) の値域と逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。

(3) 関数 $f(x) = 4 - x^2$ ($x \leq 0$) の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

(2)

値域を求める：

$f(x) = x^2 + 2x - 3$ を平方完成します。

$f(x) = (x+1)^2 - 4$

$x \geq -1$ のとき、$(x+1)^2 \geq 0$ なので、$f(x) \geq -4$ となります。

したがって、値域は $y \geq -4$ です。

逆関数を求める：

$y = x^2 + 2x - 3$ とおきます。$x \geq -1$

$x$ について解きます。

$y = (x+1)^2 - 4$

$y+4 = (x+1)^2$

$x+1 = \pm \sqrt{y+4}$

$x = -1 \pm \sqrt{y+4}$

$x \geq -1$ なので、$x = -1 + \sqrt{y+4}$

$x$ と $y$ を入れ替えて、$f^{-1}(x) = -1 + \sqrt{x+4}$ となります。

(3)

値域を求める：

$f(x) = 4 - x^2$

$x \leq 0$ の範囲を考えます。

$x^2 \geq 0$ なので、$-x^2 \leq 0$

$4 - x^2 \leq 4$

したがって、値域は $y \leq 4$ です。

3. 最終的な答え

(2)

値域: $y \geq -4$

逆関数: $f^{-1}(x) = -1 + \sqrt{x+4}$

(3)

値域: $y \leq 4$