関数 $f(x) = 2x - 3$ の値域と逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。ただし、$x$ の定義域は特に指定されていません。通常、定義域が指定されていない場合は実数全体と考えるため、ここでは $x$ は実数全体を動くものとします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x - 3$ の値域と逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める問題です。ただし、$x$ の定義域は特に指定されていません。通常、定義域が指定されていない場合は実数全体と考えるため、ここでは $x$ は実数全体を動くものとします。

2. 解き方の手順

(1) 値域について：

$f(x) = 2x - 3$ は一次関数であり、$x$ が実数全体を動くとき、$f(x)$ も実数全体を動きます。 なぜなら、$x$ にどんな実数を入れても、$2x-3$ は必ず実数になるからです。

(2) 逆関数について：

逆関数を求めるには、$y = f(x)$ とおいて、$x$ について解き、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$y = 2x - 3$

$y + 3 = 2x$

$x = \frac{y + 3}{2}$

ここで、$x$ と $y$ を入れ替えると、

$y = \frac{x + 3}{2}$

したがって、逆関数は

$f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}$

3. 最終的な答え

値域：実数全体

逆関数：$f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}$