初項から第 $n$ 項までの和が $n^2 - 3n$ で表される数列の一般項を求める。

1. 問題の内容

初項から第 $n$ 項までの和が $n^2 - 3n$ で表される数列の一般項を求める。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。

$S_n = n^2 - 3n$ と与えられている。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ である。

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1$ である。

まず、$n \ge 2$ の場合を考える。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 3n) - ((n-1)^2 - 3(n-1))$

$= (n^2 - 3n) - (n^2 - 2n + 1 - 3n + 3)$

$= n^2 - 3n - (n^2 - 5n + 4)$

$= n^2 - 3n - n^2 + 5n - 4$

$= 2n - 4$

次に、$n=1$ の場合を考える。

$a_1 = S_1 = 1^2 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

$a_n = 2n - 4$ に $n=1$ を代入すると $a_1 = 2(1) - 4 = -2$ となる。

したがって、$n \ge 1$ において、$a_n = 2n - 4$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n - 4$