数列 $2\cdot3, 4\cdot5, 6\cdot7, \dots, 2n(2n+1)$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

1. 問題の内容

数列 $2\cdot3, 4\cdot5, 6\cdot7, \dots, 2n(2n+1)$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

2. 解き方の手順

求める和を $S_n$ とする。数列の一般項は $2k(2k+1)$ で表される。よって、

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S_n = \sum_{k=1}^{n} 2k(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 2k)

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和の記号を展開する。

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S_n = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k

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$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を代入する。

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S_n = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2}

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S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + n(n+1)

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$n(n+1)$ で括る。

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S_n = n(n+1)\left(\frac{2(2n+1)}{3} + 1\right)

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S_n = n(n+1)\left(\frac{4n+2}{3} + \frac{3}{3}\right)

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S_n = n(n+1)\left(\frac{4n+5}{3}\right)

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S_n = \frac{n(n+1)(4n+5)}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(4n+5)}{3}$