与えられた式 $x^4 - 18x^2 + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 18x^2 + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、平方完成を利用します。まず、$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$ となることを利用して、$x^4 - 18x^2 + 1$ に $2x^2$ を加え、さらに$2x^2$を引くことによって、以下のように変形します。

$x^4 - 18x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 20x^2$

$= (x^2+1)^2 - (2\sqrt{5}x)^2$

次に、 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を利用します。

$(x^2+1)^2 - (2\sqrt{5}x)^2 = (x^2+1+2\sqrt{5}x)(x^2+1-2\sqrt{5}x)$

$= (x^2 + 2\sqrt{5}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{5}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2\sqrt{5}x + 1)(x^2 - 2\sqrt{5}x + 1)$