与えられた式 $ab^2 - a + b^2 - b$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab^2 - a + b^2 - b$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず共通因数でくくり出すことを試みます。

最初の2つの項 $ab^2 - a$ には $a$ が共通因数として含まれているので、$a$ でくくり出すと、

$a(b^2 - 1)$

次の2つの項 $b^2 - b$ には $b$ が共通因数として含まれているので、$b$ でくくり出すと、

$b(b - 1)$

これらを元の式に代入すると、

$ab^2 - a + b^2 - b = a(b^2 - 1) + (b^2 - b)$

$b^2 - 1$ は $(b - 1)(b + 1)$ と因数分解できるため、

$a(b^2 - 1) = a(b - 1)(b + 1)$

また、$b^2 - b$ は $b(b - 1)$ と因数分解できる。

したがって、元の式は

$ab^2 - a + b^2 - b = a(b - 1)(b + 1) + b(b - 1)$

ここで、$(b - 1)$ が共通因数として含まれているので、$(b - 1)$ でくくり出すと、

$(b - 1)(a(b + 1) + b)$

$(b - 1)(ab + a + b)$

したがって、$ab^2 - a + b^2 - b = (b - 1)(ab + a + b)$

3. 最終的な答え

$(b - 1)(ab + a + b)$