$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin\theta - \cos\theta = \frac{2}{3}$ である。このとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin\theta - \cos\theta = \frac{2}{3}$ である。このとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\sin\theta - \cos\theta = \frac{2}{3}$ の両辺を2乗します。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

$\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{4}{9}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9}$

$2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{4}{9}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{5}{9}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{5}{18}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta\cos\theta = \frac{5}{18}$