問題457: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ かつ $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ (3) $\sin \theta - \cos \theta$

1. 問題の内容

問題457: $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ かつ $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

(3) $\sin \theta - \cos \theta$

2. 解き方の手順

まず、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$

三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

(1) $\sin \theta \cos \theta$ の値は、すでに計算した。

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ を求める。因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いる。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$= \frac{1}{2} (1 - (-\frac{3}{8})) = \frac{1}{2} (1 + \frac{3}{8}) = \frac{1}{2} (\frac{11}{8}) = \frac{11}{16}$

(3) $(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算する。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$

$= 1 - 2 (-\frac{3}{8}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{4}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であることを考慮する。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ より、$\sin \theta = \frac{1}{2} - \cos \theta$

$\sin \theta$ は $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で非負であるため、$\frac{1}{2} - \cos \theta \ge 0$ となる。

したがって、$\cos \theta \le \frac{1}{2}$ である。

もし $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ならば、

$\sin \theta - \cos \theta > 0$ となり、$\sin \theta > \cos \theta$ となる。

もし $\sin \theta - \cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{2}$ ならば、

$\sin \theta - \cos \theta < 0$ となり、$\sin \theta < \cos \theta$ となる。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ と $\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ を解くと、

$\sin \theta$ と $\cos \theta$ は $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{8} = 0$ の解となる。

$8x^2 - 4x - 3 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(8)(-3)}}{16} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 96}}{16} = \frac{4 \pm \sqrt{112}}{16} = \frac{4 \pm 4\sqrt{7}}{16} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{4}$

したがって、$\sin \theta = \frac{1 + \sqrt{7}}{4}$ と $\cos \theta = \frac{1 - \sqrt{7}}{4}$ である。

$\sin \theta > 0$ かつ $\cos \theta < \frac{1}{2}$ を満たすので、これは正しい。

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1 + \sqrt{7}}{4} - \frac{1 - \sqrt{7}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{11}{16}$

(3) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$