与えられた行列の計算を実行します。具体的には、2x2の行列の逆行列を計算し、別の2x2の行列と掛け合わせ、最後にスカラー倍します。 計算式は次の通りです。 $2 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の計算を実行します。具体的には、2x2の行列の逆行列を計算し、別の2x2の行列と掛け合わせ、最後にスカラー倍します。

計算式は次の通りです。

$2 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を計算します。

2x2行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられます。

したがって、$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{(1)(0) - (3)(2)} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix}$

次に、$A^{-1}$ と $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を掛け合わせます。

$\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1) + (\frac{1}{2})(1) & (0)(-2) + (\frac{1}{2})(0) \\ (\frac{1}{3})(1) + (-\frac{1}{6})(1) & (\frac{1}{3})(-2) + (-\frac{1}{6})(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

最後に、この結果に 2 を掛けます。

$2 \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{6} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$