以下の4つの式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\sqrt[3]{a^4b^3} \times \sqrt{a^3b} \div \sqrt[6]{a^5b^3}$ (2) $(\sqrt{2} - \sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + \sqrt[4]{2} + 1)$ (3) $\log_2{18} - \log_4{12}$ (4) $\log_5{2} - \log_{25}{\frac{1}{20}}$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の4つの式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\sqrt[3]{a^4b^3} \times \sqrt{a^3b} \div \sqrt[6]{a^5b^3}$

(2) $(\sqrt{2} - \sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + \sqrt[4]{2} + 1)$

(3) $\log_2{18} - \log_4{12}$

(4) $\log_5{2} - \log_{25}{\frac{1}{20}}$

2. 解き方の手順

(1) 指数法則と根の性質を用いて計算します。

$\sqrt[3]{a^4b^3} = (a^4b^3)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}b$

$\sqrt{a^3b} = (a^3b)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[6]{a^5b^3} = (a^5b^3)^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{1}{2}}$

与式は、

$a^{\frac{4}{3}}b \times a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{1}{2}}$

$= a^{\frac{4}{3}}a^{\frac{3}{2}}a^{-\frac{5}{6}} \times b b^{\frac{1}{2}} b^{-\frac{1}{2}}$

$= a^{\frac{8+9-5}{6}} \times b^{1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}$

$= a^{\frac{12}{6}}b$

$= a^2b$

(2) 展開して計算します。

$(\sqrt{2} - \sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + \sqrt[4]{2} + 1)$

$= ((\sqrt{2} + 1) - \sqrt[4]{2})((\sqrt{2} + 1) + \sqrt[4]{2})$

$= (\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt[4]{2})^2$

$= (2 + 2\sqrt{2} + 1) - \sqrt{2}$

$= 3 + 2\sqrt{2} - \sqrt{2}$

$= 3 + \sqrt{2}$

(3) 対数の底を揃えて計算します。

$\log_2{18} - \log_4{12}$

$= \log_2{18} - \frac{\log_2{12}}{\log_2{4}}$

$= \log_2{18} - \frac{\log_2{12}}{2}$

$= \log_2{18} - \frac{1}{2}\log_2{12}$

$= \log_2{18} - \log_2{\sqrt{12}}$

$= \log_2{\frac{18}{\sqrt{12}}}$

$= \log_2{\frac{18}{2\sqrt{3}}}$

$= \log_2{\frac{9}{\sqrt{3}}}$

$= \log_2{\frac{9\sqrt{3}}{3}}$

$= \log_2{3\sqrt{3}}$

$= \log_2{3^{\frac{3}{2}}}$

$= \frac{3}{2}\log_2{3}$

(4) 対数の底を揃えて計算します。

$\log_5{2} - \log_{25}{\frac{1}{20}}$

$= \log_5{2} - \frac{\log_5{\frac{1}{20}}}{\log_5{25}}$

$= \log_5{2} - \frac{\log_5{\frac{1}{20}}}{2}$

$= \log_5{2} - \frac{1}{2}\log_5{\frac{1}{20}}$

$= \log_5{2} - \log_5{\sqrt{\frac{1}{20}}}$

$= \log_5{2} - \log_5{\frac{1}{2\sqrt{5}}}$

$= \log_5{\frac{2}{\frac{1}{2\sqrt{5}}}}$

$= \log_5{4\sqrt{5}}$

$= \log_5{4} + \log_5{\sqrt{5}}$

$= \log_5{4} + \frac{1}{2}$

$= \log_5{4} + \log_5{\sqrt{5}}$

$= \log_5 4 + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a^2b$

(2) $3 + \sqrt{2}$

(3) $\frac{3}{2}\log_2{3}$

(4) $\log_5 4 + \frac{1}{2}$